حل {l}{4a_{1}+6d=3}{3a_{1}+21d=4}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 a _ { 1 } + 6 d = 3 } \\ { 3 a _ { 1 } + 21 d = 4 } \end{array} \right.$$

حل مسائل a_1، d

$$a_{1}=\frac{13}{22}\approx 0.590909091$$

$$d=\frac{7}{66}\approx 0.106060606$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$4a_{1}+6d=3,3a_{1}+21d=4$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة a_{1} بعزل a_{1} على يسار علامة التساوي.

$$4a_{1}+6d=3$$

اطرح 6d من طرفي المعادلة.

$$4a_{1}=-6d+3$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$a_{1}=\frac{1}{4}\left(-6d+3\right)$$

اضرب \frac{1}{4} في -6d+3.

$$a_{1}=-\frac{3}{2}d+\frac{3}{4}$$

عوّض عن a_{1} بالقيمة -\frac{3d}{2}+\frac{3}{4} في المعادلة الأخرى، 3a_{1}+21d=4.

$$3\left(-\frac{3}{2}d+\frac{3}{4}\right)+21d=4$$

اضرب 3 في -\frac{3d}{2}+\frac{3}{4}.

$$-\frac{9}{2}d+\frac{9}{4}+21d=4$$

اجمع -\frac{9d}{2} مع 21d.

$$\frac{33}{2}d+\frac{9}{4}=4$$

اطرح \frac{9}{4} من طرفي المعادلة.

$$\frac{33}{2}d=\frac{7}{4}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{33}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$d=\frac{7}{66}$$

عوّض عن d بالقيمة \frac{7}{66} في a_{1}=-\frac{3}{2}d+\frac{3}{4}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة a_{1} مباشرةً.

$$a_{1}=-\frac{3}{2}\times \frac{7}{66}+\frac{3}{4}$$

اضرب -\frac{3}{2} في \frac{7}{66} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$a_{1}=-\frac{7}{44}+\frac{3}{4}$$

اجمع \frac{3}{4} مع -\frac{7}{44} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$a_{1}=\frac{13}{22}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$a_{1}=\frac{13}{22},d=\frac{7}{66}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$4a_{1}+6d=3,3a_{1}+21d=4$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{21}{4\times 21-6\times 3}&-\frac{6}{4\times 21-6\times 3}\\-\frac{3}{4\times 21-6\times 3}&\frac{4}{4\times 21-6\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{22}&-\frac{1}{11}\\-\frac{1}{22}&\frac{2}{33}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{22}\times 3-\frac{1}{11}\times 4\\-\frac{1}{22}\times 3+\frac{2}{33}\times 4\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{22}\\\frac{7}{66}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة a_{1} وd.

$$a_{1}=\frac{13}{22},d=\frac{7}{66}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$4a_{1}+6d=3,3a_{1}+21d=4$$

لجعل 4a_{1} و3a_{1} متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 4.

$$3\times 4a_{1}+3\times 6d=3\times 3,4\times 3a_{1}+4\times 21d=4\times 4$$

تبسيط.

$$12a_{1}+18d=9,12a_{1}+84d=16$$

اطرح 12a_{1}+84d=16 من 12a_{1}+18d=9 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$12a_{1}-12a_{1}+18d-84d=9-16$$

اجمع 12a_{1} مع -12a_{1}. حذف الحدين 12a_{1} و-12a_{1}، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$18d-84d=9-16$$

اجمع 18d مع -84d.

$$-66d=9-16$$

اجمع 9 مع -16.

$$-66d=-7$$

قسمة طرفي المعادلة على -66.

$$d=\frac{7}{66}$$

عوّض عن d بالقيمة \frac{7}{66} في 3a_{1}+21d=4. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة a_{1} مباشرةً.

$$3a_{1}+21\times \frac{7}{66}=4$$

اضرب 21 في \frac{7}{66}.

$$3a_{1}+\frac{49}{22}=4$$

اطرح \frac{49}{22} من طرفي المعادلة.

$$3a_{1}=\frac{39}{22}$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$a_{1}=\frac{13}{22}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$a_{1}=\frac{13}{22},d=\frac{7}{66}$$