حل {l}{4a+5b=9}{2a-b=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 a + 5 b = 9 } \\ { 2 a - b = 7 } \end{array} \right.$$

حل مسائل a، b

$$a = \frac{22}{7} = 3\frac{1}{7} \approx 3.142857143$$

$$b=-\frac{5}{7}\approx -0.714285714$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$4a+5b=9,2a-b=7$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة a بعزل a على يسار علامة التساوي.

$$4a+5b=9$$

اطرح 5b من طرفي المعادلة.

$$4a=-5b+9$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$a=\frac{1}{4}\left(-5b+9\right)$$

اضرب \frac{1}{4} في -5b+9.

$$a=-\frac{5}{4}b+\frac{9}{4}$$

عوّض عن a بالقيمة \frac{-5b+9}{4} في المعادلة الأخرى، 2a-b=7.

$$2\left(-\frac{5}{4}b+\frac{9}{4}\right)-b=7$$

اضرب 2 في \frac{-5b+9}{4}.

$$-\frac{5}{2}b+\frac{9}{2}-b=7$$

اجمع -\frac{5b}{2} مع -b.

$$-\frac{7}{2}b+\frac{9}{2}=7$$

اطرح \frac{9}{2} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{7}{2}b=\frac{5}{2}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{7}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$b=-\frac{5}{7}$$

عوّض عن b بالقيمة -\frac{5}{7} في a=-\frac{5}{4}b+\frac{9}{4}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة a مباشرةً.

$$a=-\frac{5}{4}\left(-\frac{5}{7}\right)+\frac{9}{4}$$

اضرب -\frac{5}{4} في -\frac{5}{7} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$a=\frac{25}{28}+\frac{9}{4}$$

اجمع \frac{9}{4} مع \frac{25}{28} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$a=\frac{22}{7}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$a=\frac{22}{7},b=-\frac{5}{7}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$4a+5b=9,2a-b=7$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}4&5\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}4&5\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4\left(-1\right)-5\times 2}&-\frac{5}{4\left(-1\right)-5\times 2}\\-\frac{2}{4\left(-1\right)-5\times 2}&\frac{4}{4\left(-1\right)-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}&\frac{5}{14}\\\frac{1}{7}&-\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}\times 9+\frac{5}{14}\times 7\\\frac{1}{7}\times 9-\frac{2}{7}\times 7\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{7}\\-\frac{5}{7}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة a وb.

$$a=\frac{22}{7},b=-\frac{5}{7}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$4a+5b=9,2a-b=7$$

لجعل 4a و2a متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 4.

$$2\times 4a+2\times 5b=2\times 9,4\times 2a+4\left(-1\right)b=4\times 7$$

تبسيط.

$$8a+10b=18,8a-4b=28$$

اطرح 8a-4b=28 من 8a+10b=18 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$8a-8a+10b+4b=18-28$$

اجمع 8a مع -8a. حذف الحدين 8a و-8a، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$10b+4b=18-28$$

اجمع 10b مع 4b.

$$14b=18-28$$

اجمع 18 مع -28.

$$14b=-10$$

قسمة طرفي المعادلة على 14.

$$b=-\frac{5}{7}$$

عوّض عن b بالقيمة -\frac{5}{7} في 2a-b=7. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة a مباشرةً.

$$2a-\left(-\frac{5}{7}\right)=7$$

اطرح \frac{5}{7} من طرفي المعادلة.

$$2a=\frac{44}{7}$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$a=\frac{22}{7}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$a=\frac{22}{7},b=-\frac{5}{7}$$