حل {l}{36x-5y=7}{6x+3y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 36 x - 5 y = 7 } \\ { 6 x + 3 y = 8 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=\frac{61}{138}\approx 0.442028986$$

$$y = \frac{41}{23} = 1\frac{18}{23} \approx 1.782608696$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$36x-5y=7,6x+3y=8$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$36x-5y=7$$

أضف 5y إلى طرفي المعادلة.

$$36x=5y+7$$

قسمة طرفي المعادلة على 36.

$$x=\frac{1}{36}\left(5y+7\right)$$

اضرب \frac{1}{36} في 5y+7.

$$x=\frac{5}{36}y+\frac{7}{36}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{5y+7}{36} في المعادلة الأخرى، 6x+3y=8.

$$6\left(\frac{5}{36}y+\frac{7}{36}\right)+3y=8$$

اضرب 6 في \frac{5y+7}{36}.

$$\frac{5}{6}y+\frac{7}{6}+3y=8$$

اجمع \frac{5y}{6} مع 3y.

$$\frac{23}{6}y+\frac{7}{6}=8$$

اطرح \frac{7}{6} من طرفي المعادلة.

$$\frac{23}{6}y=\frac{41}{6}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{23}{6}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{41}{23}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{41}{23} في x=\frac{5}{36}y+\frac{7}{36}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{5}{36}\times \frac{41}{23}+\frac{7}{36}$$

اضرب \frac{5}{36} في \frac{41}{23} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{205}{828}+\frac{7}{36}$$

اجمع \frac{7}{36} مع \frac{205}{828} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{61}{138}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{61}{138},y=\frac{41}{23}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$36x-5y=7,6x+3y=8$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{36\times 3-\left(-5\times 6\right)}&-\frac{-5}{36\times 3-\left(-5\times 6\right)}\\-\frac{6}{36\times 3-\left(-5\times 6\right)}&\frac{36}{36\times 3-\left(-5\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{46}&\frac{5}{138}\\-\frac{1}{23}&\frac{6}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{46}\times 7+\frac{5}{138}\times 8\\-\frac{1}{23}\times 7+\frac{6}{23}\times 8\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{61}{138}\\\frac{41}{23}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{61}{138},y=\frac{41}{23}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$36x-5y=7,6x+3y=8$$

لجعل 36x و6x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 6 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 36.

$$6\times 36x+6\left(-5\right)y=6\times 7,36\times 6x+36\times 3y=36\times 8$$

تبسيط.

$$216x-30y=42,216x+108y=288$$

اطرح 216x+108y=288 من 216x-30y=42 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$216x-216x-30y-108y=42-288$$

اجمع 216x مع -216x. حذف الحدين 216x و-216x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-30y-108y=42-288$$

اجمع -30y مع -108y.

$$-138y=42-288$$

اجمع 42 مع -288.

$$-138y=-246$$

قسمة طرفي المعادلة على -138.

$$y=\frac{41}{23}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{41}{23} في 6x+3y=8. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$6x+3\times \frac{41}{23}=8$$

اضرب 3 في \frac{41}{23}.

$$6x+\frac{123}{23}=8$$

اطرح \frac{123}{23} من طرفي المعادلة.

$$6x=\frac{61}{23}$$

قسمة طرفي المعادلة على 6.

$$x=\frac{61}{138}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{61}{138},y=\frac{41}{23}$$