حل {l}{300x+400y=2000}{4x+5y=26}

$$\left. \begin{array} { l } { 300 x + 400 y = 2000 } \\ { 4 x + 5 y = 26 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=4$$

$$y=2$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$300x+400y=2000,4x+5y=26$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$300x+400y=2000$$

اطرح 400y من طرفي المعادلة.

$$300x=-400y+2000$$

قسمة طرفي المعادلة على 300.

$$x=\frac{1}{300}\left(-400y+2000\right)$$

اضرب \frac{1}{300} في -400y+2000.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{20}{3}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-4y+20}{3} في المعادلة الأخرى، 4x+5y=26.

$$4\left(-\frac{4}{3}y+\frac{20}{3}\right)+5y=26$$

اضرب 4 في \frac{-4y+20}{3}.

$$-\frac{16}{3}y+\frac{80}{3}+5y=26$$

اجمع -\frac{16y}{3} مع 5y.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{80}{3}=26$$

اطرح \frac{80}{3} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{1}{3}y=-\frac{2}{3}$$

ضرب طرفي المعادلة في -3.

$$y=2$$

عوّض عن y بالقيمة 2 في x=-\frac{4}{3}y+\frac{20}{3}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{4}{3}\times 2+\frac{20}{3}$$

اضرب -\frac{4}{3} في 2.

$$x=\frac{-8+20}{3}$$

اجمع \frac{20}{3} مع -\frac{8}{3} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=4$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=4,y=2$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$300x+400y=2000,4x+5y=26$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}300&400\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2000\\26\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}300&400\\4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}300&400\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}300&400\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}300&400\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2000\\26\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}300&400\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2000\\26\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}300&400\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2000\\26\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{300\times 5-400\times 4}&-\frac{400}{300\times 5-400\times 4}\\-\frac{4}{300\times 5-400\times 4}&\frac{300}{300\times 5-400\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2000\\26\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{20}&4\\\frac{1}{25}&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2000\\26\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{20}\times 2000+4\times 26\\\frac{1}{25}\times 2000-3\times 26\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=4,y=2$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$300x+400y=2000,4x+5y=26$$

لجعل 300x و4x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 4 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 300.

$$4\times 300x+4\times 400y=4\times 2000,300\times 4x+300\times 5y=300\times 26$$

تبسيط.

$$1200x+1600y=8000,1200x+1500y=7800$$

اطرح 1200x+1500y=7800 من 1200x+1600y=8000 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$1200x-1200x+1600y-1500y=8000-7800$$

اجمع 1200x مع -1200x. حذف الحدين 1200x و-1200x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$1600y-1500y=8000-7800$$

اجمع 1600y مع -1500y.

$$100y=8000-7800$$

اجمع 8000 مع -7800.

$$100y=200$$

قسمة طرفي المعادلة على 100.

$$y=2$$

عوّض عن y بالقيمة 2 في 4x+5y=26. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$4x+5\times 2=26$$

اضرب 5 في 2.

$$4x+10=26$$

اطرح 10 من طرفي المعادلة.

$$4x=16$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=4$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=4,y=2$$