حل {l}{30f_{1}+40f_{2}=285}{30f_{1}+30f_{2}=+270}

$$\left. \begin{array} { l } { 30 f _ { 1 } + 40 f _ { 2 } = 285 } \\ { 30 f _ { 1 } + 30 f _ { 2 } = + 270 } \end{array} \right.$$

حل مسائل f_1، f_2

$$f_{1} = \frac{15}{2} = 7\frac{1}{2} = 7.5$$

$$f_{2} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$30f_{1}+40f_{2}=285,30f_{1}+30f_{2}=270$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة f_{1} بعزل f_{1} على يسار علامة التساوي.

$$30f_{1}+40f_{2}=285$$

اطرح 40f_{2} من طرفي المعادلة.

$$30f_{1}=-40f_{2}+285$$

قسمة طرفي المعادلة على 30.

$$f_{1}=\frac{1}{30}\left(-40f_{2}+285\right)$$

اضرب \frac{1}{30} في -40f_{2}+285.

$$f_{1}=-\frac{4}{3}f_{2}+\frac{19}{2}$$

عوّض عن f_{1} بالقيمة -\frac{4f_{2}}{3}+\frac{19}{2} في المعادلة الأخرى، 30f_{1}+30f_{2}=270.

$$30\left(-\frac{4}{3}f_{2}+\frac{19}{2}\right)+30f_{2}=270$$

اضرب 30 في -\frac{4f_{2}}{3}+\frac{19}{2}.

$$-40f_{2}+285+30f_{2}=270$$

اجمع -40f_{2} مع 30f_{2}.

$$-10f_{2}+285=270$$

اطرح 285 من طرفي المعادلة.

$$-10f_{2}=-15$$

قسمة طرفي المعادلة على -10.

$$f_{2}=\frac{3}{2}$$

عوّض عن f_{2} بالقيمة \frac{3}{2} في f_{1}=-\frac{4}{3}f_{2}+\frac{19}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة f_{1} مباشرةً.

$$f_{1}=-\frac{4}{3}\times \frac{3}{2}+\frac{19}{2}$$

اضرب -\frac{4}{3} في \frac{3}{2} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$f_{1}=-2+\frac{19}{2}$$

اجمع \frac{19}{2} مع -2.

$$f_{1}=\frac{15}{2}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$f_{1}=\frac{15}{2},f_{2}=\frac{3}{2}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$30f_{1}+40f_{2}=285,30f_{1}+30f_{2}=270$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}30&40\\30&30\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f_{1}\\f_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}285\\270\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}30&40\\30&30\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}30&40\\30&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30&40\\30&30\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f_{1}\\f_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&40\\30&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}285\\270\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f_{1}\\f_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&40\\30&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}285\\270\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}f_{1}\\f_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&40\\30&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}285\\270\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}f_{1}\\f_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{30}{30\times 30-40\times 30}&-\frac{40}{30\times 30-40\times 30}\\-\frac{30}{30\times 30-40\times 30}&\frac{30}{30\times 30-40\times 30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}285\\270\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}f_{1}\\f_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}&\frac{2}{15}\\\frac{1}{10}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}285\\270\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}f_{1}\\f_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}\times 285+\frac{2}{15}\times 270\\\frac{1}{10}\times 285-\frac{1}{10}\times 270\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}f_{1}\\f_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{2}\\\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة f_{1} وf_{2}.

$$f_{1}=\frac{15}{2},f_{2}=\frac{3}{2}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$30f_{1}+40f_{2}=285,30f_{1}+30f_{2}=270$$

اطرح 30f_{1}+30f_{2}=270 من 30f_{1}+40f_{2}=285 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$30f_{1}-30f_{1}+40f_{2}-30f_{2}=285-270$$

اجمع 30f_{1} مع -30f_{1}. حذف الحدين 30f_{1} و-30f_{1}، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$40f_{2}-30f_{2}=285-270$$

اجمع 40f_{2} مع -30f_{2}.

$$10f_{2}=285-270$$

اجمع 285 مع -270.

$$10f_{2}=15$$

قسمة طرفي المعادلة على 10.

$$f_{2}=\frac{3}{2}$$

عوّض عن f_{2} بالقيمة \frac{3}{2} في 30f_{1}+30f_{2}=270. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة f_{1} مباشرةً.

$$30f_{1}+30\times \frac{3}{2}=270$$

اضرب 30 في \frac{3}{2}.

$$30f_{1}+45=270$$

اطرح 45 من طرفي المعادلة.

$$30f_{1}=225$$

قسمة طرفي المعادلة على 30.

$$f_{1}=\frac{15}{2}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$f_{1}=\frac{15}{2},f_{2}=\frac{3}{2}$$