حل {l}{3y=6x-3}{2x=7-y}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 y = 6 x - 3 } \\ { 2 x = 7 - y } \end{array} \right.$$

حل مسائل y، x

$$x=2$$

$$y=3$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح 6x من الطرفين.

$$3y-6x=-3$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. إضافة y لكلا الجانبين.

$$2x+y=7$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3y-6x=-3,y+2x=7$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة y بعزل y على يسار علامة التساوي.

$$3y-6x=-3$$

أضف 6x إلى طرفي المعادلة.

$$3y=6x-3$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$y=\frac{1}{3}\left(6x-3\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في 6x-3.

$$y=2x-1$$

عوّض عن y بالقيمة 2x-1 في المعادلة الأخرى، y+2x=7.

$$2x-1+2x=7$$

اجمع 2x مع 2x.

$$4x-1=7$$

أضف 1 إلى طرفي المعادلة.

$$4x=8$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=2$$

عوّض عن x بالقيمة 2 في y=2x-1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$y=2\times 2-1$$

اضرب 2 في 2.

$$y=4-1$$

اجمع -1 مع 4.

$$y=3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=3,x=2$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح 6x من الطرفين.

$$3y-6x=-3$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. إضافة y لكلا الجانبين.

$$2x+y=7$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3y-6x=-3,y+2x=7$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&-6\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\7\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&-6\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-6\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\7\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\7\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\7\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-6\right)}&-\frac{-6}{3\times 2-\left(-6\right)}\\-\frac{1}{3\times 2-\left(-6\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\7\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{12}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\7\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\left(-3\right)+\frac{1}{2}\times 7\\-\frac{1}{12}\left(-3\right)+\frac{1}{4}\times 7\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة y وx.

$$y=3,x=2$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح 6x من الطرفين.

$$3y-6x=-3$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. إضافة y لكلا الجانبين.

$$2x+y=7$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3y-6x=-3,y+2x=7$$

لجعل 3y وy متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 3.

$$3y-6x=-3,3y+3\times 2x=3\times 7$$

تبسيط.

$$3y-6x=-3,3y+6x=21$$

اطرح 3y+6x=21 من 3y-6x=-3 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$3y-3y-6x-6x=-3-21$$

اجمع 3y مع -3y. حذف الحدين 3y و-3y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-6x-6x=-3-21$$

اجمع -6x مع -6x.

$$-12x=-3-21$$

اجمع -3 مع -21.

$$-12x=-24$$

قسمة طرفي المعادلة على -12.

$$x=2$$

عوّض عن x بالقيمة 2 في y+2x=7. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$y+2\times 2=7$$

اضرب 2 في 2.

$$y+4=7$$

اطرح 4 من طرفي المعادلة.

$$y=3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=3,x=2$$