حل {l}{3y+x=31}{2y+3x=44}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 y + x = 31 } \\ { 2 y + 3 x = 44 } \end{array} \right.$$

حل مسائل y، x

$$x=10$$

$$y=7$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3y+x=31,2y+3x=44$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة y بعزل y على يسار علامة التساوي.

$$3y+x=31$$

اطرح x من طرفي المعادلة.

$$3y=-x+31$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$y=\frac{1}{3}\left(-x+31\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في -x+31.

$$y=-\frac{1}{3}x+\frac{31}{3}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{-x+31}{3} في المعادلة الأخرى، 2y+3x=44.

$$2\left(-\frac{1}{3}x+\frac{31}{3}\right)+3x=44$$

اضرب 2 في \frac{-x+31}{3}.

$$-\frac{2}{3}x+\frac{62}{3}+3x=44$$

اجمع -\frac{2x}{3} مع 3x.

$$\frac{7}{3}x+\frac{62}{3}=44$$

اطرح \frac{62}{3} من طرفي المعادلة.

$$\frac{7}{3}x=\frac{70}{3}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{7}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$x=10$$

عوّض عن x بالقيمة 10 في y=-\frac{1}{3}x+\frac{31}{3}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$y=-\frac{1}{3}\times 10+\frac{31}{3}$$

اضرب -\frac{1}{3} في 10.

$$y=\frac{-10+31}{3}$$

اجمع \frac{31}{3} مع -\frac{10}{3} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$y=7$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=7,x=10$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3y+x=31,2y+3x=44$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-2}&-\frac{1}{3\times 3-2}\\-\frac{2}{3\times 3-2}&\frac{3}{3\times 3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&-\frac{1}{7}\\-\frac{2}{7}&\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 31-\frac{1}{7}\times 44\\-\frac{2}{7}\times 31+\frac{3}{7}\times 44\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\10\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة y وx.

$$y=7,x=10$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3y+x=31,2y+3x=44$$

لجعل 3y و2y متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 3.

$$2\times 3y+2x=2\times 31,3\times 2y+3\times 3x=3\times 44$$

تبسيط.

$$6y+2x=62,6y+9x=132$$

اطرح 6y+9x=132 من 6y+2x=62 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$6y-6y+2x-9x=62-132$$

اجمع 6y مع -6y. حذف الحدين 6y و-6y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$2x-9x=62-132$$

اجمع 2x مع -9x.

$$-7x=62-132$$

اجمع 62 مع -132.

$$-7x=-70$$

قسمة طرفي المعادلة على -7.

$$x=10$$

عوّض عن x بالقيمة 10 في 2y+3x=44. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$2y+3\times 10=44$$

اضرب 3 في 10.

$$2y+30=44$$

اطرح 30 من طرفي المعادلة.

$$2y=14$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$y=7$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=7,x=10$$