حل {l}{3y+2x=75}{x+y=50}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 y + 2 x = 75 } \\ { x + y = 50 } \end{array} \right.$$

حل مسائل y، x

$$x=75$$

$$y=-25$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3y+2x=75,y+x=50$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة y بعزل y على يسار علامة التساوي.

$$3y+2x=75$$

اطرح 2x من طرفي المعادلة.

$$3y=-2x+75$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$y=\frac{1}{3}\left(-2x+75\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في -2x+75.

$$y=-\frac{2}{3}x+25$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{2x}{3}+25 في المعادلة الأخرى، y+x=50.

$$-\frac{2}{3}x+25+x=50$$

اجمع -\frac{2x}{3} مع x.

$$\frac{1}{3}x+25=50$$

اطرح 25 من طرفي المعادلة.

$$\frac{1}{3}x=25$$

ضرب طرفي المعادلة في 3.

$$x=75$$

عوّض عن x بالقيمة 75 في y=-\frac{2}{3}x+25. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$y=-\frac{2}{3}\times 75+25$$

اضرب -\frac{2}{3} في 75.

$$y=-50+25$$

اجمع 25 مع -50.

$$y=-25$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=-25,x=75$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3y+2x=75,y+x=50$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}75\\50\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}75\\50\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}75\\50\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}75\\50\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-2}&-\frac{2}{3-2}\\-\frac{1}{3-2}&\frac{3}{3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}75\\50\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-2\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}75\\50\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}75-2\times 50\\-75+3\times 50\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-25\\75\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة y وx.

$$y=-25,x=75$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3y+2x=75,y+x=50$$

لجعل 3y وy متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 3.

$$3y+2x=75,3y+3x=3\times 50$$

تبسيط.

$$3y+2x=75,3y+3x=150$$

اطرح 3y+3x=150 من 3y+2x=75 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$3y-3y+2x-3x=75-150$$

اجمع 3y مع -3y. حذف الحدين 3y و-3y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$2x-3x=75-150$$

اجمع 2x مع -3x.

$$-x=75-150$$

اجمع 75 مع -150.

$$-x=-75$$

قسمة طرفي المعادلة على -1.

$$x=75$$

عوّض عن x بالقيمة 75 في y+x=50. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$y+75=50$$

اطرح 75 من طرفي المعادلة.

$$y=-25$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=-25,x=75$$