حل {l}{3x-y=3}{7x+2y=20}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - y = 3 } \\ { 7 x + 2 y = 20 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=2$$

$$y=3$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3x-y=3,7x+2y=20$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$3x-y=3$$

أضف y إلى طرفي المعادلة.

$$3x=y+3$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+3\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في y+3.

$$x=\frac{1}{3}y+1$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{y}{3}+1 في المعادلة الأخرى، 7x+2y=20.

$$7\left(\frac{1}{3}y+1\right)+2y=20$$

اضرب 7 في \frac{y}{3}+1.

$$\frac{7}{3}y+7+2y=20$$

اجمع \frac{7y}{3} مع 2y.

$$\frac{13}{3}y+7=20$$

اطرح 7 من طرفي المعادلة.

$$\frac{13}{3}y=13$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{13}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=3$$

عوّض عن y بالقيمة 3 في x=\frac{1}{3}y+1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{1}{3}\times 3+1$$

اضرب \frac{1}{3} في 3.

$$x=1+1$$

اجمع 1 مع 1.

$$x=2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=2,y=3$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3x-y=3,7x+2y=20$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\20\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&-1\\7&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\20\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\20\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\20\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-7\right)}&-\frac{-1}{3\times 2-\left(-7\right)}\\-\frac{7}{3\times 2-\left(-7\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\20\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&\frac{1}{13}\\-\frac{7}{13}&\frac{3}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\20\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\times 3+\frac{1}{13}\times 20\\-\frac{7}{13}\times 3+\frac{3}{13}\times 20\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=2,y=3$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3x-y=3,7x+2y=20$$

لجعل 3x و7x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 7 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 3.

$$7\times 3x+7\left(-1\right)y=7\times 3,3\times 7x+3\times 2y=3\times 20$$

تبسيط.

$$21x-7y=21,21x+6y=60$$

اطرح 21x+6y=60 من 21x-7y=21 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$21x-21x-7y-6y=21-60$$

اجمع 21x مع -21x. حذف الحدين 21x و-21x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-7y-6y=21-60$$

اجمع -7y مع -6y.

$$-13y=21-60$$

اجمع 21 مع -60.

$$-13y=-39$$

قسمة طرفي المعادلة على -13.

$$y=3$$

عوّض عن y بالقيمة 3 في 7x+2y=20. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$7x+2\times 3=20$$

اضرب 2 في 3.

$$7x+6=20$$

اطرح 6 من طرفي المعادلة.

$$7x=14$$

قسمة طرفي المعادلة على 7.

$$x=2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=2,y=3$$