حل {l}{3x-y+2=0}{5x-2y+1=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - y + 2 = 0 } \\ { 5 x - 2 y + 1 = 0 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-3$$

$$y=-7$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3x-y+2=0,5x-2y+1=0$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$3x-y+2=0$$

اطرح 2 من طرفي المعادلة.

$$3x-y=-2$$

أضف y إلى طرفي المعادلة.

$$3x=y-2$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(y-2\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في y-2.

$$x=\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-2+y}{3} في المعادلة الأخرى، 5x-2y+1=0.

$$5\left(\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}\right)-2y+1=0$$

اضرب 5 في \frac{-2+y}{3}.

$$\frac{5}{3}y-\frac{10}{3}-2y+1=0$$

اجمع \frac{5y}{3} مع -2y.

$$-\frac{1}{3}y-\frac{10}{3}+1=0$$

اجمع -\frac{10}{3} مع 1.

$$-\frac{1}{3}y-\frac{7}{3}=0$$

أضف \frac{7}{3} إلى طرفي المعادلة.

$$-\frac{1}{3}y=\frac{7}{3}$$

ضرب طرفي المعادلة في -3.

$$y=-7$$

عوّض عن y بالقيمة -7 في x=\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{1}{3}\left(-7\right)-\frac{2}{3}$$

اضرب \frac{1}{3} في -7.

$$x=\frac{-7-2}{3}$$

اجمع -\frac{2}{3} مع -\frac{7}{3} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-3,y=-7$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3x-y+2=0,5x-2y+1=0$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&-1\\5&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-5\right)}&-\frac{-1}{3\left(-2\right)-\left(-5\right)}\\-\frac{5}{3\left(-2\right)-\left(-5\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-1\\5&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\left(-2\right)-\left(-1\right)\\5\left(-2\right)-3\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-7\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-3,y=-7$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3x-y+2=0,5x-2y+1=0$$

لجعل 3x و5x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 5 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 3.

$$5\times 3x+5\left(-1\right)y+5\times 2=0,3\times 5x+3\left(-2\right)y+3=0$$

تبسيط.

$$15x-5y+10=0,15x-6y+3=0$$

اطرح 15x-6y+3=0 من 15x-5y+10=0 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$15x-15x-5y+6y+10-3=0$$

اجمع 15x مع -15x. حذف الحدين 15x و-15x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-5y+6y+10-3=0$$

اجمع -5y مع 6y.

$$y+10-3=0$$

اجمع 10 مع -3.

$$y+7=0$$

اطرح 7 من طرفي المعادلة.

$$y=-7$$

عوّض عن y بالقيمة -7 في 5x-2y+1=0. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$5x-2\left(-7\right)+1=0$$

اضرب -2 في -7.

$$5x+14+1=0$$

اجمع 14 مع 1.

$$5x+15=0$$

اطرح 15 من طرفي المعادلة.

$$5x=-15$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=-3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-3,y=-7$$