حل {l}{3x-9=y}{9y+3=x}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 9 = y } \\ { 9 y + 3 = x } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=3$$

$$y=0$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح y من الطرفين.

$$3x-9-y=0$$

إضافة 9 لكلا الجانبين. حاصل جمع أي عدد مع صفر يكون العدد نفسه.

$$3x-y=9$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح x من الطرفين.

$$9y+3-x=0$$

اطرح 3 من الطرفين. حاصل طرح أي عدد من الصفر يكون القيمة السالبة للعدد نفسه.

$$9y-x=-3$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3x-y=9,-x+9y=-3$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$3x-y=9$$

أضف y إلى طرفي المعادلة.

$$3x=y+9$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+9\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في y+9.

$$x=\frac{1}{3}y+3$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{y}{3}+3 في المعادلة الأخرى، -x+9y=-3.

$$-\left(\frac{1}{3}y+3\right)+9y=-3$$

اضرب -1 في \frac{y}{3}+3.

$$-\frac{1}{3}y-3+9y=-3$$

اجمع -\frac{y}{3} مع 9y.

$$\frac{26}{3}y-3=-3$$

أضف 3 إلى طرفي المعادلة.

$$\frac{26}{3}y=0$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{26}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=0$$

عوّض عن y بالقيمة 0 في x=\frac{1}{3}y+3. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=3,y=0$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح y من الطرفين.

$$3x-9-y=0$$

إضافة 9 لكلا الجانبين. حاصل جمع أي عدد مع صفر يكون العدد نفسه.

$$3x-y=9$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح x من الطرفين.

$$9y+3-x=0$$

اطرح 3 من الطرفين. حاصل طرح أي عدد من الصفر يكون القيمة السالبة للعدد نفسه.

$$9y-x=-3$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3x-y=9,-x+9y=-3$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&-1\\-1&9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

في المصفوفة 2\times 2 في هذا المثال \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة هي \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمسألة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{3\times 9-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{-1}{3\times 9-\left(-\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{3\times 9-\left(-\left(-1\right)\right)}&\frac{3}{3\times 9-\left(-\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{26}&\frac{1}{26}\\\frac{1}{26}&\frac{3}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{26}\times 9+\frac{1}{26}\left(-3\right)\\\frac{1}{26}\times 9+\frac{3}{26}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\0\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=3,y=0$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح y من الطرفين.

$$3x-9-y=0$$

إضافة 9 لكلا الجانبين. حاصل جمع أي عدد مع صفر يكون العدد نفسه.

$$3x-y=9$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح x من الطرفين.

$$9y+3-x=0$$

اطرح 3 من الطرفين. حاصل طرح أي عدد من الصفر يكون القيمة السالبة للعدد نفسه.

$$9y-x=-3$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3x-y=9,-x+9y=-3$$

لجعل 3x و-x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 3.

$$-3x-\left(-y\right)=-9,3\left(-1\right)x+3\times 9y=3\left(-3\right)$$

تبسيط.

$$-3x+y=-9,-3x+27y=-9$$

اطرح -3x+27y=-9 من -3x+y=-9 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-3x+3x+y-27y=-9+9$$

اجمع -3x مع 3x. حذف الحدين -3x و3x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$y-27y=-9+9$$

اجمع y مع -27y.

$$-26y=-9+9$$

اجمع -9 مع 9.

$$-26y=0$$

قسمة طرفي المعادلة على -26.

$$y=0$$

عوّض عن y بالقيمة 0 في -x+9y=-3. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-x=-3$$

قسمة طرفي المعادلة على -1.

$$x=3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=3,y=0$$