حل {l}{3x-5y-4=0}{9x-2y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 5 y - 4 = 0 } \\ { 9 x - 2 y = 7 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=\frac{9}{13}\approx 0.692307692$$

$$y=-\frac{5}{13}\approx -0.384615385$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3x-5y-4=0,9x-2y=7$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$3x-5y-4=0$$

أضف 4 إلى طرفي المعادلة.

$$3x-5y=4$$

أضف 5y إلى طرفي المعادلة.

$$3x=5y+4$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(5y+4\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في 5y+4.

$$x=\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{5y+4}{3} في المعادلة الأخرى، 9x-2y=7.

$$9\left(\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}\right)-2y=7$$

اضرب 9 في \frac{5y+4}{3}.

$$15y+12-2y=7$$

اجمع 15y مع -2y.

$$13y+12=7$$

اطرح 12 من طرفي المعادلة.

$$13y=-5$$

قسمة طرفي المعادلة على 13.

$$y=-\frac{5}{13}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{5}{13} في x=\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{5}{3}\left(-\frac{5}{13}\right)+\frac{4}{3}$$

اضرب \frac{5}{3} في -\frac{5}{13} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{25}{39}+\frac{4}{3}$$

اجمع \frac{4}{3} مع -\frac{25}{39} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{9}{13}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{9}{13},y=-\frac{5}{13}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3x-5y-4=0,9x-2y=7$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}&-\frac{-5}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}\\-\frac{9}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{39}&\frac{5}{39}\\-\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{39}\times 4+\frac{5}{39}\times 7\\-\frac{3}{13}\times 4+\frac{1}{13}\times 7\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{13}\\-\frac{5}{13}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{9}{13},y=-\frac{5}{13}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3x-5y-4=0,9x-2y=7$$

لجعل 3x و9x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 9 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 3.

$$9\times 3x+9\left(-5\right)y+9\left(-4\right)=0,3\times 9x+3\left(-2\right)y=3\times 7$$

تبسيط.

$$27x-45y-36=0,27x-6y=21$$

اطرح 27x-6y=21 من 27x-45y-36=0 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$27x-27x-45y+6y-36=-21$$

اجمع 27x مع -27x. حذف الحدين 27x و-27x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-45y+6y-36=-21$$

اجمع -45y مع 6y.

$$-39y-36=-21$$

أضف 36 إلى طرفي المعادلة.

$$-39y=15$$

قسمة طرفي المعادلة على -39.

$$y=-\frac{5}{13}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{5}{13} في 9x-2y=7. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$9x-2\left(-\frac{5}{13}\right)=7$$

اضرب -2 في -\frac{5}{13}.

$$9x+\frac{10}{13}=7$$

اطرح \frac{10}{13} من طرفي المعادلة.

$$9x=\frac{81}{13}$$

قسمة طرفي المعادلة على 9.

$$x=\frac{9}{13}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{9}{13},y=-\frac{5}{13}$$