حل {l}{3x-5y=-6}{2x-3y=-5}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 5 y = - 6 } \\ { 2 x - 3 y = - 5 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-7$$

$$y=-3$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3x-5y=-6,2x-3y=-5$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$3x-5y=-6$$

أضف 5y إلى طرفي المعادلة.

$$3x=5y-6$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(5y-6\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في 5y-6.

$$x=\frac{5}{3}y-2$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{5y}{3}-2 في المعادلة الأخرى، 2x-3y=-5.

$$2\left(\frac{5}{3}y-2\right)-3y=-5$$

اضرب 2 في \frac{5y}{3}-2.

$$\frac{10}{3}y-4-3y=-5$$

اجمع \frac{10y}{3} مع -3y.

$$\frac{1}{3}y-4=-5$$

أضف 4 إلى طرفي المعادلة.

$$\frac{1}{3}y=-1$$

ضرب طرفي المعادلة في 3.

$$y=-3$$

عوّض عن y بالقيمة -3 في x=\frac{5}{3}y-2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{5}{3}\left(-3\right)-2$$

اضرب \frac{5}{3} في -3.

$$x=-5-2$$

اجمع -2 مع -5.

$$x=-7$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-7,y=-3$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3x-5y=-6,2x-3y=-5$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&-5\\2&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

في المصفوفة 2\times 2 في هذا المثال \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة هي \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمسألة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-5\times 2\right)}&-\frac{-5}{3\left(-3\right)-\left(-5\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\left(-3\right)-\left(-5\times 2\right)}&\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-5\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&5\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\left(-6\right)+5\left(-5\right)\\-2\left(-6\right)+3\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\-3\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-7,y=-3$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3x-5y=-6,2x-3y=-5$$

لجعل 3x و2x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 3.

$$2\times 3x+2\left(-5\right)y=2\left(-6\right),3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\left(-5\right)$$

تبسيط.

$$6x-10y=-12,6x-9y=-15$$

اطرح 6x-9y=-15 من 6x-10y=-12 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$6x-6x-10y+9y=-12+15$$

اجمع 6x مع -6x. حذف الحدين 6x و-6x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-10y+9y=-12+15$$

اجمع -10y مع 9y.

$$-y=-12+15$$

اجمع -12 مع 15.

$$-y=3$$

قسمة طرفي المعادلة على -1.

$$y=-3$$

عوّض عن y بالقيمة -3 في 2x-3y=-5. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$2x-3\left(-3\right)=-5$$

اضرب -3 في -3.

$$2x+9=-5$$

اطرح 9 من طرفي المعادلة.

$$2x=-14$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=-7$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-7,y=-3$$