حل {l}{3x-5y=-18}{3x-2y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 5 y = - 18 } \\ { 3 x - 2 y = 9 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=9$$

$$y=9$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3x-5y=-18,3x-2y=9$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$3x-5y=-18$$

أضف 5y إلى طرفي المعادلة.

$$3x=5y-18$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(5y-18\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في 5y-18.

$$x=\frac{5}{3}y-6$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{5y}{3}-6 في المعادلة الأخرى، 3x-2y=9.

$$3\left(\frac{5}{3}y-6\right)-2y=9$$

اضرب 3 في \frac{5y}{3}-6.

$$5y-18-2y=9$$

اجمع 5y مع -2y.

$$3y-18=9$$

أضف 18 إلى طرفي المعادلة.

$$3y=27$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$y=9$$

عوّض عن y بالقيمة 9 في x=\frac{5}{3}y-6. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{5}{3}\times 9-6$$

اضرب \frac{5}{3} في 9.

$$x=15-6$$

اجمع -6 مع 15.

$$x=9$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=9,y=9$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3x-5y=-18,3x-2y=9$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-18\\9\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&-5\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\9\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\9\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\9\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 3\right)}&-\frac{-5}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 3\right)}\\-\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 3\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\9\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{9}&\frac{5}{9}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\9\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{9}\left(-18\right)+\frac{5}{9}\times 9\\-\frac{1}{3}\left(-18\right)+\frac{1}{3}\times 9\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\9\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=9,y=9$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3x-5y=-18,3x-2y=9$$

اطرح 3x-2y=9 من 3x-5y=-18 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$3x-3x-5y+2y=-18-9$$

اجمع 3x مع -3x. حذف الحدين 3x و-3x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-5y+2y=-18-9$$

اجمع -5y مع 2y.

$$-3y=-18-9$$

اجمع -18 مع -9.

$$-3y=-27$$

قسمة طرفي المعادلة على -3.

$$y=9$$

عوّض عن y بالقيمة 9 في 3x-2y=9. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$3x-2\times 9=9$$

اضرب -2 في 9.

$$3x-18=9$$

أضف 18 إلى طرفي المعادلة.

$$3x=27$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=9$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=9,y=9$$