حل {l}{3x-4y=2}{2y-5x=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 4 y = 2 } \\ { 2 y - 5 x = 6 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-2$$

$$y=-2$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3x-4y=2,-5x+2y=6$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$3x-4y=2$$

أضف 4y إلى طرفي المعادلة.

$$3x=4y+2$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(4y+2\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في 4y+2.

$$x=\frac{4}{3}y+\frac{2}{3}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{4y+2}{3} في المعادلة الأخرى، -5x+2y=6.

$$-5\left(\frac{4}{3}y+\frac{2}{3}\right)+2y=6$$

اضرب -5 في \frac{4y+2}{3}.

$$-\frac{20}{3}y-\frac{10}{3}+2y=6$$

اجمع -\frac{20y}{3} مع 2y.

$$-\frac{14}{3}y-\frac{10}{3}=6$$

أضف \frac{10}{3} إلى طرفي المعادلة.

$$-\frac{14}{3}y=\frac{28}{3}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{14}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-2$$

عوّض عن y بالقيمة -2 في x=\frac{4}{3}y+\frac{2}{3}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{4}{3}\left(-2\right)+\frac{2}{3}$$

اضرب \frac{4}{3} في -2.

$$x=\frac{-8+2}{3}$$

اجمع \frac{2}{3} مع -\frac{8}{3} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-2,y=-2$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3x-4y=2,-5x+2y=6$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&-4\\-5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&-4\\-5&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\-5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-4\\-5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\-5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\-5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\-5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-4\left(-5\right)\right)}&-\frac{-4}{3\times 2-\left(-4\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{3\times 2-\left(-4\left(-5\right)\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-4\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&-\frac{2}{7}\\-\frac{5}{14}&-\frac{3}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\times 2-\frac{2}{7}\times 6\\-\frac{5}{14}\times 2-\frac{3}{14}\times 6\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-2\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-2,y=-2$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3x-4y=2,-5x+2y=6$$

لجعل 3x و-5x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -5 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 3.

$$-5\times 3x-5\left(-4\right)y=-5\times 2,3\left(-5\right)x+3\times 2y=3\times 6$$

تبسيط.

$$-15x+20y=-10,-15x+6y=18$$

اطرح -15x+6y=18 من -15x+20y=-10 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-15x+15x+20y-6y=-10-18$$

اجمع -15x مع 15x. حذف الحدين -15x و15x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$20y-6y=-10-18$$

اجمع 20y مع -6y.

$$14y=-10-18$$

اجمع -10 مع -18.

$$14y=-28$$

قسمة طرفي المعادلة على 14.

$$y=-2$$

عوّض عن y بالقيمة -2 في -5x+2y=6. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-5x+2\left(-2\right)=6$$

اضرب 2 في -2.

$$-5x-4=6$$

أضف 4 إلى طرفي المعادلة.

$$-5x=10$$

قسمة طرفي المعادلة على -5.

$$x=-2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-2,y=-2$$