حل {l}{3x-3y=2}{4x+7y=-3}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 3 y = 2 } \\ { 4 x + 7 y = - 3 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=\frac{5}{33}\approx 0.151515152$$

$$y=-\frac{17}{33}\approx -0.515151515$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3x-3y=2,4x+7y=-3$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$3x-3y=2$$

أضف 3y إلى طرفي المعادلة.

$$3x=3y+2$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(3y+2\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في 3y+2.

$$x=y+\frac{2}{3}$$

عوّض عن x بالقيمة y+\frac{2}{3} في المعادلة الأخرى، 4x+7y=-3.

$$4\left(y+\frac{2}{3}\right)+7y=-3$$

اضرب 4 في y+\frac{2}{3}.

$$4y+\frac{8}{3}+7y=-3$$

اجمع 4y مع 7y.

$$11y+\frac{8}{3}=-3$$

اطرح \frac{8}{3} من طرفي المعادلة.

$$11y=-\frac{17}{3}$$

قسمة طرفي المعادلة على 11.

$$y=-\frac{17}{33}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{17}{33} في x=y+\frac{2}{3}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{17}{33}+\frac{2}{3}$$

اجمع \frac{2}{3} مع -\frac{17}{33} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{5}{33}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{5}{33},y=-\frac{17}{33}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3x-3y=2,4x+7y=-3$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&-3\\4&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&-3\\4&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-3\\4&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

في المصفوفة 2\times 2 في هذا المثال \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة هي \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمسألة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3\times 7-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{3\times 7-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{3\times 7-\left(-3\times 4\right)}&\frac{3}{3\times 7-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{33}&\frac{1}{11}\\-\frac{4}{33}&\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{33}\times 2+\frac{1}{11}\left(-3\right)\\-\frac{4}{33}\times 2+\frac{1}{11}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{33}\\-\frac{17}{33}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{5}{33},y=-\frac{17}{33}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3x-3y=2,4x+7y=-3$$

لجعل 3x و4x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 4 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 3.

$$4\times 3x+4\left(-3\right)y=4\times 2,3\times 4x+3\times 7y=3\left(-3\right)$$

تبسيط.

$$12x-12y=8,12x+21y=-9$$

اطرح 12x+21y=-9 من 12x-12y=8 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$12x-12x-12y-21y=8+9$$

اجمع 12x مع -12x. حذف الحدين 12x و-12x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-12y-21y=8+9$$

اجمع -12y مع -21y.

$$-33y=8+9$$

اجمع 8 مع 9.

$$-33y=17$$

قسمة طرفي المعادلة على -33.

$$y=-\frac{17}{33}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{17}{33} في 4x+7y=-3. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$4x+7\left(-\frac{17}{33}\right)=-3$$

اضرب 7 في -\frac{17}{33}.

$$4x-\frac{119}{33}=-3$$

أضف \frac{119}{33} إلى طرفي المعادلة.

$$4x=\frac{20}{33}$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=\frac{5}{33}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{5}{33},y=-\frac{17}{33}$$