حل {l}{3x-2y=4}{x=y-2}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = 4 } \\ { x = y - 2 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=8$$

$$y=10$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح y من الطرفين.

$$x-y=-2$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3x-2y=4,x-y=-2$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$3x-2y=4$$

أضف 2y إلى طرفي المعادلة.

$$3x=2y+4$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+4\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في 4+2y.

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{4}{3}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{4+2y}{3} في المعادلة الأخرى، x-y=-2.

$$\frac{2}{3}y+\frac{4}{3}-y=-2$$

اجمع \frac{2y}{3} مع -y.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{4}{3}=-2$$

اطرح \frac{4}{3} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{1}{3}y=-\frac{10}{3}$$

ضرب طرفي المعادلة في -3.

$$y=10$$

عوّض عن y بالقيمة 10 في x=\frac{2}{3}y+\frac{4}{3}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{2}{3}\times 10+\frac{4}{3}$$

اضرب \frac{2}{3} في 10.

$$x=\frac{20+4}{3}$$

اجمع \frac{4}{3} مع \frac{20}{3} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=8$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=8,y=10$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح y من الطرفين.

$$x-y=-2$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3x-2y=4,x-y=-2$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&-2\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4-2\left(-2\right)\\4-3\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=8,y=10$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح y من الطرفين.

$$x-y=-2$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3x-2y=4,x-y=-2$$

لجعل 3x وx متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 3.

$$3x-2y=4,3x+3\left(-1\right)y=3\left(-2\right)$$

تبسيط.

$$3x-2y=4,3x-3y=-6$$

اطرح 3x-3y=-6 من 3x-2y=4 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$3x-3x-2y+3y=4+6$$

اجمع 3x مع -3x. حذف الحدين 3x و-3x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-2y+3y=4+6$$

اجمع -2y مع 3y.

$$y=4+6$$

اجمع 4 مع 6.

$$y=10$$

عوّض عن y بالقيمة 10 في x-y=-2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x-10=-2$$

أضف 10 إلى طرفي المعادلة.

$$x=8$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=8,y=10$$