حل {l}{3x-2y+3=0}{4x+3y-47=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 2 y + 3 = 0 } \\ { 4 x + 3 y - 47 = 0 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=5$$

$$y=9$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3x-2y+3=0,4x+3y-47=0$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$3x-2y+3=0$$

اطرح 3 من طرفي المعادلة.

$$3x-2y=-3$$

أضف 2y إلى طرفي المعادلة.

$$3x=2y-3$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y-3\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في 2y-3.

$$x=\frac{2}{3}y-1$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{2y}{3}-1 في المعادلة الأخرى، 4x+3y-47=0.

$$4\left(\frac{2}{3}y-1\right)+3y-47=0$$

اضرب 4 في \frac{2y}{3}-1.

$$\frac{8}{3}y-4+3y-47=0$$

اجمع \frac{8y}{3} مع 3y.

$$\frac{17}{3}y-4-47=0$$

اجمع -4 مع -47.

$$\frac{17}{3}y-51=0$$

أضف 51 إلى طرفي المعادلة.

$$\frac{17}{3}y=51$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{17}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=9$$

عوّض عن y بالقيمة 9 في x=\frac{2}{3}y-1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{2}{3}\times 9-1$$

اضرب \frac{2}{3} في 9.

$$x=6-1$$

اجمع -1 مع 6.

$$x=5$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=5,y=9$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3x-2y+3=0,4x+3y-47=0$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\47\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\47\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\47\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\47\end{matrix}\right)$$

في المصفوفة 2\times 2 في هذا المثال \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة هي \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمسألة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-\left(-2\times 4\right)}&-\frac{-2}{3\times 3-\left(-2\times 4\right)}\\-\frac{4}{3\times 3-\left(-2\times 4\right)}&\frac{3}{3\times 3-\left(-2\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\47\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{17}&\frac{2}{17}\\-\frac{4}{17}&\frac{3}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\47\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{17}\left(-3\right)+\frac{2}{17}\times 47\\-\frac{4}{17}\left(-3\right)+\frac{3}{17}\times 47\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\9\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=5,y=9$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3x-2y+3=0,4x+3y-47=0$$

لجعل 3x و4x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 4 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 3.

$$4\times 3x+4\left(-2\right)y+4\times 3=0,3\times 4x+3\times 3y+3\left(-47\right)=0$$

تبسيط.

$$12x-8y+12=0,12x+9y-141=0$$

اطرح 12x+9y-141=0 من 12x-8y+12=0 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$12x-12x-8y-9y+12+141=0$$

اجمع 12x مع -12x. حذف الحدين 12x و-12x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-8y-9y+12+141=0$$

اجمع -8y مع -9y.

$$-17y+12+141=0$$

اجمع 12 مع 141.

$$-17y+153=0$$

اطرح 153 من طرفي المعادلة.

$$-17y=-153$$

قسمة طرفي المعادلة على -17.

$$y=9$$

عوّض عن y بالقيمة 9 في 4x+3y-47=0. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$4x+3\times 9-47=0$$

اضرب 3 في 9.

$$4x+27-47=0$$

اجمع 27 مع -47.

$$4x-20=0$$

أضف 20 إلى طرفي المعادلة.

$$4x=20$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=5$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=5,y=9$$