حل {l}{3x=x-y+3}{2=y-x}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x = x - y + 3 } \\ { 2 = y - x } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$y = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \approx 2.333333333$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح x من الطرفين.

$$3x-x=-y+3$$

اجمع 3x مع -x لتحصل على 2x.

$$2x=-y+3$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+3\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -y+3.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-y+3}{2} في المعادلة الأخرى، -x+y=2.

$$-\left(-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}\right)+y=2$$

اضرب -1 في \frac{-y+3}{2}.

$$\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}+y=2$$

اجمع \frac{y}{2} مع y.

$$\frac{3}{2}y-\frac{3}{2}=2$$

أضف \frac{3}{2} إلى طرفي المعادلة.

$$\frac{3}{2}y=\frac{7}{2}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{3}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{7}{3}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{7}{3} في x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{7}{3}+\frac{3}{2}$$

اضرب -\frac{1}{2} في \frac{7}{3} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{7}{6}+\frac{3}{2}$$

اجمع \frac{3}{2} مع -\frac{7}{6} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{1}{3}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{1}{3},y=\frac{7}{3}$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح x من الطرفين.

$$3x-x=-y+3$$

اجمع 3x مع -x لتحصل على 2x.

$$2x=-y+3$$

إضافة y لكلا الجانبين.

$$2x+y=3$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. قم بتبديل الطرفين بحيث تكون كل الحدود المتغيرة على اليسار.

$$y-x=2$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x+y=3,-x+y=2$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&1\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-1\right)}&-\frac{1}{2-\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{2-\left(-1\right)}&\frac{2}{2-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 3-\frac{1}{3}\times 2\\\frac{1}{3}\times 3+\frac{2}{3}\times 2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\\\frac{7}{3}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{1}{3},y=\frac{7}{3}$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح x من الطرفين.

$$3x-x=-y+3$$

اجمع 3x مع -x لتحصل على 2x.

$$2x=-y+3$$

إضافة y لكلا الجانبين.

$$2x+y=3$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. قم بتبديل الطرفين بحيث تكون كل الحدود المتغيرة على اليسار.

$$y-x=2$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x+y=3,-x+y=2$$

اطرح -x+y=2 من 2x+y=3 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$2x+x+y-y=3-2$$

اجمع y مع -y. حذف الحدين y و-y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$2x+x=3-2$$

اجمع 2x مع x.

$$3x=3-2$$

اجمع 3 مع -2.

$$3x=1$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{1}{3}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{1}{3} في -x+y=2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$-\frac{1}{3}+y=2$$

أضف \frac{1}{3} إلى طرفي المعادلة.

$$y=\frac{7}{3}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{1}{3},y=\frac{7}{3}$$