حل {l}{3x=(y+1)}{4=2y+x}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x = ( y + 1 ) } \\ { 4 = 2 y + x } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=\frac{6}{7}\approx 0.857142857$$

$$y = \frac{11}{7} = 1\frac{4}{7} \approx 1.571428571$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح y من الطرفين.

$$3x-y=1$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. قم بتبديل الطرفين بحيث تكون كل الحدود المتغيرة على اليسار.

$$2y+x=4$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3x-y=1,x+2y=4$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$3x-y=1$$

أضف y إلى طرفي المعادلة.

$$3x=y+1$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+1\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في y+1.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{1+y}{3} في المعادلة الأخرى، x+2y=4.

$$\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}+2y=4$$

اجمع \frac{y}{3} مع 2y.

$$\frac{7}{3}y+\frac{1}{3}=4$$

اطرح \frac{1}{3} من طرفي المعادلة.

$$\frac{7}{3}y=\frac{11}{3}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{7}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{11}{7}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{11}{7} في x=\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{1}{3}\times \frac{11}{7}+\frac{1}{3}$$

اضرب \frac{1}{3} في \frac{11}{7} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{11}{21}+\frac{1}{3}$$

اجمع \frac{1}{3} مع \frac{11}{21} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{6}{7}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{6}{7},y=\frac{11}{7}$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح y من الطرفين.

$$3x-y=1$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. قم بتبديل الطرفين بحيث تكون كل الحدود المتغيرة على اليسار.

$$2y+x=4$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3x-y=1,x+2y=4$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&-1\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{3\times 2-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{3\times 2-\left(-1\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}+\frac{1}{7}\times 4\\-\frac{1}{7}+\frac{3}{7}\times 4\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{7}\\\frac{11}{7}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{6}{7},y=\frac{11}{7}$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح y من الطرفين.

$$3x-y=1$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. قم بتبديل الطرفين بحيث تكون كل الحدود المتغيرة على اليسار.

$$2y+x=4$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3x-y=1,x+2y=4$$

لجعل 3x وx متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 3.

$$3x-y=1,3x+3\times 2y=3\times 4$$

تبسيط.

$$3x-y=1,3x+6y=12$$

اطرح 3x+6y=12 من 3x-y=1 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$3x-3x-y-6y=1-12$$

اجمع 3x مع -3x. حذف الحدين 3x و-3x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-y-6y=1-12$$

اجمع -y مع -6y.

$$-7y=1-12$$

اجمع 1 مع -12.

$$-7y=-11$$

قسمة طرفي المعادلة على -7.

$$y=\frac{11}{7}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{11}{7} في x+2y=4. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x+2\times \frac{11}{7}=4$$

اضرب 2 في \frac{11}{7}.

$$x+\frac{22}{7}=4$$

اطرح \frac{22}{7} من طرفي المعادلة.

$$x=\frac{6}{7}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{6}{7},y=\frac{11}{7}$$