حل {l}{3x+y=9}{2x-3y=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + y = 9 } \\ { 2 x - 3 y = 6 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=3$$

$$y=0$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3x+y=9,2x-3y=6$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$3x+y=9$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$3x=-y+9$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+9\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في -y+9.

$$x=-\frac{1}{3}y+3$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{y}{3}+3 في المعادلة الأخرى، 2x-3y=6.

$$2\left(-\frac{1}{3}y+3\right)-3y=6$$

اضرب 2 في -\frac{y}{3}+3.

$$-\frac{2}{3}y+6-3y=6$$

اجمع -\frac{2y}{3} مع -3y.

$$-\frac{11}{3}y+6=6$$

اطرح 6 من طرفي المعادلة.

$$-\frac{11}{3}y=0$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{11}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=0$$

عوّض عن y بالقيمة 0 في x=-\frac{1}{3}y+3. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=3,y=0$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3x+y=9,2x-3y=6$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\6\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&1\\2&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\6\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\6\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\6\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-2}&-\frac{1}{3\left(-3\right)-2}\\-\frac{2}{3\left(-3\right)-2}&\frac{3}{3\left(-3\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\6\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}&\frac{1}{11}\\\frac{2}{11}&-\frac{3}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\6\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}\times 9+\frac{1}{11}\times 6\\\frac{2}{11}\times 9-\frac{3}{11}\times 6\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\0\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=3,y=0$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3x+y=9,2x-3y=6$$

لجعل 3x و2x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 3.

$$2\times 3x+2y=2\times 9,3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\times 6$$

تبسيط.

$$6x+2y=18,6x-9y=18$$

اطرح 6x-9y=18 من 6x+2y=18 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$6x-6x+2y+9y=18-18$$

اجمع 6x مع -6x. حذف الحدين 6x و-6x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$2y+9y=18-18$$

اجمع 2y مع 9y.

$$11y=18-18$$

اجمع 18 مع -18.

$$11y=0$$

قسمة طرفي المعادلة على 11.

$$y=0$$

عوّض عن y بالقيمة 0 في 2x-3y=6. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$2x=6$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=3,y=0$$