حل {l}{3x+y=5}{7x+y=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + y = 5 } \\ { 7 x + y = 6 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=\frac{1}{4}=0.25$$

$$y = \frac{17}{4} = 4\frac{1}{4} = 4.25$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3x+y=5,7x+y=6$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$3x+y=5$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$3x=-y+5$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+5\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في -y+5.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-y+5}{3} في المعادلة الأخرى، 7x+y=6.

$$7\left(-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}\right)+y=6$$

اضرب 7 في \frac{-y+5}{3}.

$$-\frac{7}{3}y+\frac{35}{3}+y=6$$

اجمع -\frac{7y}{3} مع y.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{35}{3}=6$$

اطرح \frac{35}{3} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{4}{3}y=-\frac{17}{3}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{4}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{17}{4}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{17}{4} في x=-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{17}{4}+\frac{5}{3}$$

اضرب -\frac{1}{3} في \frac{17}{4} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{17}{12}+\frac{5}{3}$$

اجمع \frac{5}{3} مع -\frac{17}{12} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{1}{4}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{1}{4},y=\frac{17}{4}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3x+y=5,7x+y=6$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&1\\7&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-7}&-\frac{1}{3-7}\\-\frac{7}{3-7}&\frac{3}{3-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{7}{4}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{4}\times 6\\\frac{7}{4}\times 5-\frac{3}{4}\times 6\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\\frac{17}{4}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{1}{4},y=\frac{17}{4}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3x+y=5,7x+y=6$$

اطرح 7x+y=6 من 3x+y=5 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$3x-7x+y-y=5-6$$

اجمع y مع -y. حذف الحدين y و-y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$3x-7x=5-6$$

اجمع 3x مع -7x.

$$-4x=5-6$$

اجمع 5 مع -6.

$$-4x=-1$$

قسمة طرفي المعادلة على -4.

$$x=\frac{1}{4}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{1}{4} في 7x+y=6. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$7\times \frac{1}{4}+y=6$$

اضرب 7 في \frac{1}{4}.

$$\frac{7}{4}+y=6$$

اطرح \frac{7}{4} من طرفي المعادلة.

$$y=\frac{17}{4}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{1}{4},y=\frac{17}{4}$$