حل {l}{3x+y=5}{2x+y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + y = 5 } \\ { 2 x + y = 10 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-5$$

$$y=20$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3x+y=5,2x+y=10$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$3x+y=5$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$3x=-y+5$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+5\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في -y+5.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-y+5}{3} في المعادلة الأخرى، 2x+y=10.

$$2\left(-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}\right)+y=10$$

اضرب 2 في \frac{-y+5}{3}.

$$-\frac{2}{3}y+\frac{10}{3}+y=10$$

اجمع -\frac{2y}{3} مع y.

$$\frac{1}{3}y+\frac{10}{3}=10$$

اطرح \frac{10}{3} من طرفي المعادلة.

$$\frac{1}{3}y=\frac{20}{3}$$

ضرب طرفي المعادلة في 3.

$$y=20$$

عوّض عن y بالقيمة 20 في x=-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{1}{3}\times 20+\frac{5}{3}$$

اضرب -\frac{1}{3} في 20.

$$x=\frac{-20+5}{3}$$

اجمع \frac{5}{3} مع -\frac{20}{3} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-5$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-5,y=20$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3x+y=5,2x+y=10$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-2}&-\frac{1}{3-2}\\-\frac{2}{3-2}&\frac{3}{3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5-10\\-2\times 5+3\times 10\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\20\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-5,y=20$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3x+y=5,2x+y=10$$

اطرح 2x+y=10 من 3x+y=5 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$3x-2x+y-y=5-10$$

اجمع y مع -y. حذف الحدين y و-y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$3x-2x=5-10$$

اجمع 3x مع -2x.

$$x=5-10$$

اجمع 5 مع -10.

$$x=-5$$

عوّض عن x بالقيمة -5 في 2x+y=10. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$2\left(-5\right)+y=10$$

اضرب 2 في -5.

$$-10+y=10$$

أضف 10 إلى طرفي المعادلة.

$$y=20$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-5,y=20$$