حل {l}{3x+y=4}{10x+6y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + y = 4 } \\ { 10 x + 6 y = 7 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{17}{8} = 2\frac{1}{8} = 2.125$$

$$y = -\frac{19}{8} = -2\frac{3}{8} = -2.375$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3x+y=4,10x+6y=7$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$3x+y=4$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$3x=-y+4$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+4\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في -y+4.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{4}{3}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-y+4}{3} في المعادلة الأخرى، 10x+6y=7.

$$10\left(-\frac{1}{3}y+\frac{4}{3}\right)+6y=7$$

اضرب 10 في \frac{-y+4}{3}.

$$-\frac{10}{3}y+\frac{40}{3}+6y=7$$

اجمع -\frac{10y}{3} مع 6y.

$$\frac{8}{3}y+\frac{40}{3}=7$$

اطرح \frac{40}{3} من طرفي المعادلة.

$$\frac{8}{3}y=-\frac{19}{3}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{8}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-\frac{19}{8}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{19}{8} في x=-\frac{1}{3}y+\frac{4}{3}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-\frac{19}{8}\right)+\frac{4}{3}$$

اضرب -\frac{1}{3} في -\frac{19}{8} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{19}{24}+\frac{4}{3}$$

اجمع \frac{4}{3} مع \frac{19}{24} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{17}{8}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{17}{8},y=-\frac{19}{8}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3x+y=4,10x+6y=7$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\10&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&1\\10&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\10&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\10&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\10&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\10&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\10&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{3\times 6-10}&-\frac{1}{3\times 6-10}\\-\frac{10}{3\times 6-10}&\frac{3}{3\times 6-10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&-\frac{1}{8}\\-\frac{5}{4}&\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\times 4-\frac{1}{8}\times 7\\-\frac{5}{4}\times 4+\frac{3}{8}\times 7\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{17}{8}\\-\frac{19}{8}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{17}{8},y=-\frac{19}{8}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3x+y=4,10x+6y=7$$

لجعل 3x و10x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 10 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 3.

$$10\times 3x+10y=10\times 4,3\times 10x+3\times 6y=3\times 7$$

تبسيط.

$$30x+10y=40,30x+18y=21$$

اطرح 30x+18y=21 من 30x+10y=40 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$30x-30x+10y-18y=40-21$$

اجمع 30x مع -30x. حذف الحدين 30x و-30x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$10y-18y=40-21$$

اجمع 10y مع -18y.

$$-8y=40-21$$

اجمع 40 مع -21.

$$-8y=19$$

قسمة طرفي المعادلة على -8.

$$y=-\frac{19}{8}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{19}{8} في 10x+6y=7. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$10x+6\left(-\frac{19}{8}\right)=7$$

اضرب 6 في -\frac{19}{8}.

$$10x-\frac{57}{4}=7$$

أضف \frac{57}{4} إلى طرفي المعادلة.

$$10x=\frac{85}{4}$$

قسمة طرفي المعادلة على 10.

$$x=\frac{17}{8}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{17}{8},y=-\frac{19}{8}$$