حل {l}{3x+y=1}{2x-y=11}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + y = 1 } \\ { 2 x - y = 11 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{12}{5} = 2\frac{2}{5} = 2.4$$

$$y = -\frac{31}{5} = -6\frac{1}{5} = -6.2$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3x+y=1,2x-y=11$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$3x+y=1$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$3x=-y+1$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+1\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في -y+1.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-y+1}{3} في المعادلة الأخرى، 2x-y=11.

$$2\left(-\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}\right)-y=11$$

اضرب 2 في \frac{-y+1}{3}.

$$-\frac{2}{3}y+\frac{2}{3}-y=11$$

اجمع -\frac{2y}{3} مع -y.

$$-\frac{5}{3}y+\frac{2}{3}=11$$

اطرح \frac{2}{3} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{5}{3}y=\frac{31}{3}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{5}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-\frac{31}{5}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{31}{5} في x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-\frac{31}{5}\right)+\frac{1}{3}$$

اضرب -\frac{1}{3} في -\frac{31}{5} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{31}{15}+\frac{1}{3}$$

اجمع \frac{1}{3} مع \frac{31}{15} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{12}{5}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{12}{5},y=-\frac{31}{5}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3x+y=1,2x-y=11$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-2}&-\frac{1}{3\left(-1\right)-2}\\-\frac{2}{3\left(-1\right)-2}&\frac{3}{3\left(-1\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}+\frac{1}{5}\times 11\\\frac{2}{5}-\frac{3}{5}\times 11\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{5}\\-\frac{31}{5}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{12}{5},y=-\frac{31}{5}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3x+y=1,2x-y=11$$

لجعل 3x و2x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 3.

$$2\times 3x+2y=2,3\times 2x+3\left(-1\right)y=3\times 11$$

تبسيط.

$$6x+2y=2,6x-3y=33$$

اطرح 6x-3y=33 من 6x+2y=2 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$6x-6x+2y+3y=2-33$$

اجمع 6x مع -6x. حذف الحدين 6x و-6x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$2y+3y=2-33$$

اجمع 2y مع 3y.

$$5y=2-33$$

اجمع 2 مع -33.

$$5y=-31$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$y=-\frac{31}{5}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{31}{5} في 2x-y=11. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$2x-\left(-\frac{31}{5}\right)=11$$

اطرح \frac{31}{5} من طرفي المعادلة.

$$2x=\frac{24}{5}$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{12}{5}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{12}{5},y=-\frac{31}{5}$$