حل {l}{3x+8y=7}{4x-3y=23}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 8 y = 7 } \\ { 4 x - 3 y = 23 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=5$$

$$y=-1$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3x+8y=7,4x-3y=23$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$3x+8y=7$$

اطرح 8y من طرفي المعادلة.

$$3x=-8y+7$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-8y+7\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في -8y+7.

$$x=-\frac{8}{3}y+\frac{7}{3}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-8y+7}{3} في المعادلة الأخرى، 4x-3y=23.

$$4\left(-\frac{8}{3}y+\frac{7}{3}\right)-3y=23$$

اضرب 4 في \frac{-8y+7}{3}.

$$-\frac{32}{3}y+\frac{28}{3}-3y=23$$

اجمع -\frac{32y}{3} مع -3y.

$$-\frac{41}{3}y+\frac{28}{3}=23$$

اطرح \frac{28}{3} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{41}{3}y=\frac{41}{3}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{41}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-1$$

عوّض عن y بالقيمة -1 في x=-\frac{8}{3}y+\frac{7}{3}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{8}{3}\left(-1\right)+\frac{7}{3}$$

اضرب -\frac{8}{3} في -1.

$$x=\frac{8+7}{3}$$

اجمع \frac{7}{3} مع \frac{8}{3} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=5$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=5,y=-1$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3x+8y=7,4x-3y=23$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&8\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\23\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&8\\4&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&8\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&8\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&8\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\23\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&8\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\23\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&8\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\23\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-8\times 4}&-\frac{8}{3\left(-3\right)-8\times 4}\\-\frac{4}{3\left(-3\right)-8\times 4}&\frac{3}{3\left(-3\right)-8\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\23\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{41}&\frac{8}{41}\\\frac{4}{41}&-\frac{3}{41}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\23\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{41}\times 7+\frac{8}{41}\times 23\\\frac{4}{41}\times 7-\frac{3}{41}\times 23\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-1\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=5,y=-1$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3x+8y=7,4x-3y=23$$

لجعل 3x و4x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 4 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 3.

$$4\times 3x+4\times 8y=4\times 7,3\times 4x+3\left(-3\right)y=3\times 23$$

تبسيط.

$$12x+32y=28,12x-9y=69$$

اطرح 12x-9y=69 من 12x+32y=28 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$12x-12x+32y+9y=28-69$$

اجمع 12x مع -12x. حذف الحدين 12x و-12x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$32y+9y=28-69$$

اجمع 32y مع 9y.

$$41y=28-69$$

اجمع 28 مع -69.

$$41y=-41$$

قسمة طرفي المعادلة على 41.

$$y=-1$$

عوّض عن y بالقيمة -1 في 4x-3y=23. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$4x-3\left(-1\right)=23$$

اضرب -3 في -1.

$$4x+3=23$$

اطرح 3 من طرفي المعادلة.

$$4x=20$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=5$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=5,y=-1$$