حل {l}{3x+7y=63}{2x+4y=38}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 7 y = 63 } \\ { 2 x + 4 y = 38 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=7$$

$$y=6$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3x+7y=63,2x+4y=38$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$3x+7y=63$$

اطرح 7y من طرفي المعادلة.

$$3x=-7y+63$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-7y+63\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في -7y+63.

$$x=-\frac{7}{3}y+21$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{7y}{3}+21 في المعادلة الأخرى، 2x+4y=38.

$$2\left(-\frac{7}{3}y+21\right)+4y=38$$

اضرب 2 في -\frac{7y}{3}+21.

$$-\frac{14}{3}y+42+4y=38$$

اجمع -\frac{14y}{3} مع 4y.

$$-\frac{2}{3}y+42=38$$

اطرح 42 من طرفي المعادلة.

$$-\frac{2}{3}y=-4$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{2}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=6$$

عوّض عن y بالقيمة 6 في x=-\frac{7}{3}y+21. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{7}{3}\times 6+21$$

اضرب -\frac{7}{3} في 6.

$$x=-14+21$$

اجمع 21 مع -14.

$$x=7$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=7,y=6$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3x+7y=63,2x+4y=38$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&7\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}63\\38\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&7\\2&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&7\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}63\\38\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}63\\38\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}63\\38\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-7\times 2}&-\frac{7}{3\times 4-7\times 2}\\-\frac{2}{3\times 4-7\times 2}&\frac{3}{3\times 4-7\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}63\\38\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&\frac{7}{2}\\1&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}63\\38\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\times 63+\frac{7}{2}\times 38\\63-\frac{3}{2}\times 38\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\6\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=7,y=6$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3x+7y=63,2x+4y=38$$

لجعل 3x و2x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 3.

$$2\times 3x+2\times 7y=2\times 63,3\times 2x+3\times 4y=3\times 38$$

تبسيط.

$$6x+14y=126,6x+12y=114$$

اطرح 6x+12y=114 من 6x+14y=126 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$6x-6x+14y-12y=126-114$$

اجمع 6x مع -6x. حذف الحدين 6x و-6x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$14y-12y=126-114$$

اجمع 14y مع -12y.

$$2y=126-114$$

اجمع 126 مع -114.

$$2y=12$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$y=6$$

عوّض عن y بالقيمة 6 في 2x+4y=38. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$2x+4\times 6=38$$

اضرب 4 في 6.

$$2x+24=38$$

اطرح 24 من طرفي المعادلة.

$$2x=14$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=7$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=7,y=6$$