حل {l}{3x+7y=6}{x+3y=12}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 7 y = 6 } \\ { x + 3 y = 12 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-33$$

$$y=15$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3x+7y=6,x+3y=12$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$3x+7y=6$$

اطرح 7y من طرفي المعادلة.

$$3x=-7y+6$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-7y+6\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في -7y+6.

$$x=-\frac{7}{3}y+2$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{7y}{3}+2 في المعادلة الأخرى، x+3y=12.

$$-\frac{7}{3}y+2+3y=12$$

اجمع -\frac{7y}{3} مع 3y.

$$\frac{2}{3}y+2=12$$

اطرح 2 من طرفي المعادلة.

$$\frac{2}{3}y=10$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{2}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=15$$

عوّض عن y بالقيمة 15 في x=-\frac{7}{3}y+2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{7}{3}\times 15+2$$

اضرب -\frac{7}{3} في 15.

$$x=-35+2$$

اجمع 2 مع -35.

$$x=-33$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-33,y=15$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3x+7y=6,x+3y=12$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&7\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&7\\1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&7\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-7}&-\frac{7}{3\times 3-7}\\-\frac{1}{3\times 3-7}&\frac{3}{3\times 3-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&-\frac{7}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\times 6-\frac{7}{2}\times 12\\-\frac{1}{2}\times 6+\frac{3}{2}\times 12\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-33\\15\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-33,y=15$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3x+7y=6,x+3y=12$$

لجعل 3x وx متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 3.

$$3x+7y=6,3x+3\times 3y=3\times 12$$

تبسيط.

$$3x+7y=6,3x+9y=36$$

اطرح 3x+9y=36 من 3x+7y=6 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$3x-3x+7y-9y=6-36$$

اجمع 3x مع -3x. حذف الحدين 3x و-3x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$7y-9y=6-36$$

اجمع 7y مع -9y.

$$-2y=6-36$$

اجمع 6 مع -36.

$$-2y=-30$$

قسمة طرفي المعادلة على -2.

$$y=15$$

عوّض عن y بالقيمة 15 في x+3y=12. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x+3\times 15=12$$

اضرب 3 في 15.

$$x+45=12$$

اطرح 45 من طرفي المعادلة.

$$x=-33$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-33,y=15$$