حل {l}{3x+7y=10}{4x-19y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 7 y = 10 } \\ { 4 x - 19 y = 7 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{239}{85} = 2\frac{69}{85} \approx 2.811764706$$

$$y=\frac{19}{85}\approx 0.223529412$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3x+7y=10,4x-19y=7$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$3x+7y=10$$

اطرح 7y من طرفي المعادلة.

$$3x=-7y+10$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-7y+10\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في -7y+10.

$$x=-\frac{7}{3}y+\frac{10}{3}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-7y+10}{3} في المعادلة الأخرى، 4x-19y=7.

$$4\left(-\frac{7}{3}y+\frac{10}{3}\right)-19y=7$$

اضرب 4 في \frac{-7y+10}{3}.

$$-\frac{28}{3}y+\frac{40}{3}-19y=7$$

اجمع -\frac{28y}{3} مع -19y.

$$-\frac{85}{3}y+\frac{40}{3}=7$$

اطرح \frac{40}{3} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{85}{3}y=-\frac{19}{3}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{85}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{19}{85}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{19}{85} في x=-\frac{7}{3}y+\frac{10}{3}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{7}{3}\times \frac{19}{85}+\frac{10}{3}$$

اضرب -\frac{7}{3} في \frac{19}{85} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{133}{255}+\frac{10}{3}$$

اجمع \frac{10}{3} مع -\frac{133}{255} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{239}{85}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{239}{85},y=\frac{19}{85}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3x+7y=10,4x-19y=7$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&7\\4&-19\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&7\\4&-19\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\4&-19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&7\\4&-19\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\4&-19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\4&-19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\4&-19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{19}{3\left(-19\right)-7\times 4}&-\frac{7}{3\left(-19\right)-7\times 4}\\-\frac{4}{3\left(-19\right)-7\times 4}&\frac{3}{3\left(-19\right)-7\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{85}&\frac{7}{85}\\\frac{4}{85}&-\frac{3}{85}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{85}\times 10+\frac{7}{85}\times 7\\\frac{4}{85}\times 10-\frac{3}{85}\times 7\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{239}{85}\\\frac{19}{85}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{239}{85},y=\frac{19}{85}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3x+7y=10,4x-19y=7$$

لجعل 3x و4x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 4 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 3.

$$4\times 3x+4\times 7y=4\times 10,3\times 4x+3\left(-19\right)y=3\times 7$$

تبسيط.

$$12x+28y=40,12x-57y=21$$

اطرح 12x-57y=21 من 12x+28y=40 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$12x-12x+28y+57y=40-21$$

اجمع 12x مع -12x. حذف الحدين 12x و-12x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$28y+57y=40-21$$

اجمع 28y مع 57y.

$$85y=40-21$$

اجمع 40 مع -21.

$$85y=19$$

قسمة طرفي المعادلة على 85.

$$y=\frac{19}{85}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{19}{85} في 4x-19y=7. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$4x-19\times \frac{19}{85}=7$$

اضرب -19 في \frac{19}{85}.

$$4x-\frac{361}{85}=7$$

أضف \frac{361}{85} إلى طرفي المعادلة.

$$4x=\frac{956}{85}$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=\frac{239}{85}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{239}{85},y=\frac{19}{85}$$