حل {l}{3x+6y=1}{x+y=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 6 y = 1 } \\ { x + y = 0 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

$$y=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3x+6y=1,x+y=0$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$3x+6y=1$$

اطرح 6y من طرفي المعادلة.

$$3x=-6y+1$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-6y+1\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في -6y+1.

$$x=-2y+\frac{1}{3}$$

عوّض عن x بالقيمة -2y+\frac{1}{3} في المعادلة الأخرى، x+y=0.

$$-2y+\frac{1}{3}+y=0$$

اجمع -2y مع y.

$$-y+\frac{1}{3}=0$$

اطرح \frac{1}{3} من طرفي المعادلة.

$$-y=-\frac{1}{3}$$

قسمة طرفي المعادلة على -1.

$$y=\frac{1}{3}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{1}{3} في x=-2y+\frac{1}{3}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-2\times \frac{1}{3}+\frac{1}{3}$$

اضرب -2 في \frac{1}{3}.

$$x=\frac{-2+1}{3}$$

اجمع \frac{1}{3} مع -\frac{2}{3} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{1}{3}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{1}{3},y=\frac{1}{3}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3x+6y=1,x+y=0$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&6\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&6\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&6\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-6}&-\frac{6}{3-6}\\-\frac{1}{3-6}&\frac{3}{3-6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&2\\\frac{1}{3}&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-\frac{1}{3},y=\frac{1}{3}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3x+6y=1,x+y=0$$

لجعل 3x وx متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 3.

$$3x+6y=1,3x+3y=0$$

اطرح 3x+3y=0 من 3x+6y=1 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$3x-3x+6y-3y=1$$

اجمع 3x مع -3x. حذف الحدين 3x و-3x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$6y-3y=1$$

اجمع 6y مع -3y.

$$3y=1$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$y=\frac{1}{3}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{1}{3} في x+y=0. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x+\frac{1}{3}=0$$

اطرح \frac{1}{3} من طرفي المعادلة.

$$x=-\frac{1}{3}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{1}{3},y=\frac{1}{3}$$