حل {l}{3x+5y=7}{2x+y=-9}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = 7 } \\ { 2 x + y = - 9 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = -\frac{52}{7} = -7\frac{3}{7} \approx -7.428571429$$

$$y = \frac{41}{7} = 5\frac{6}{7} \approx 5.857142857$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3x+5y=7,2x+y=-9$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$3x+5y=7$$

اطرح 5y من طرفي المعادلة.

$$3x=-5y+7$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+7\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في -5y+7.

$$x=-\frac{5}{3}y+\frac{7}{3}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-5y+7}{3} في المعادلة الأخرى، 2x+y=-9.

$$2\left(-\frac{5}{3}y+\frac{7}{3}\right)+y=-9$$

اضرب 2 في \frac{-5y+7}{3}.

$$-\frac{10}{3}y+\frac{14}{3}+y=-9$$

اجمع -\frac{10y}{3} مع y.

$$-\frac{7}{3}y+\frac{14}{3}=-9$$

اطرح \frac{14}{3} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{7}{3}y=-\frac{41}{3}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{7}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{41}{7}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{41}{7} في x=-\frac{5}{3}y+\frac{7}{3}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{5}{3}\times \frac{41}{7}+\frac{7}{3}$$

اضرب -\frac{5}{3} في \frac{41}{7} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{205}{21}+\frac{7}{3}$$

اجمع \frac{7}{3} مع -\frac{205}{21} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{52}{7}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{52}{7},y=\frac{41}{7}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3x+5y=7,2x+y=-9$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-9\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-9\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-9\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-9\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-5\times 2}&-\frac{5}{3-5\times 2}\\-\frac{2}{3-5\times 2}&\frac{3}{3-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-9\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&\frac{5}{7}\\\frac{2}{7}&-\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-9\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\times 7+\frac{5}{7}\left(-9\right)\\\frac{2}{7}\times 7-\frac{3}{7}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{52}{7}\\\frac{41}{7}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-\frac{52}{7},y=\frac{41}{7}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3x+5y=7,2x+y=-9$$

لجعل 3x و2x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 3.

$$2\times 3x+2\times 5y=2\times 7,3\times 2x+3y=3\left(-9\right)$$

تبسيط.

$$6x+10y=14,6x+3y=-27$$

اطرح 6x+3y=-27 من 6x+10y=14 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$6x-6x+10y-3y=14+27$$

اجمع 6x مع -6x. حذف الحدين 6x و-6x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$10y-3y=14+27$$

اجمع 10y مع -3y.

$$7y=14+27$$

اجمع 14 مع 27.

$$7y=41$$

قسمة طرفي المعادلة على 7.

$$y=\frac{41}{7}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{41}{7} في 2x+y=-9. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$2x+\frac{41}{7}=-9$$

اطرح \frac{41}{7} من طرفي المعادلة.

$$2x=-\frac{104}{7}$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=-\frac{52}{7}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{52}{7},y=\frac{41}{7}$$