حل {l}{3x+5y=21}{5x+2y=4}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = 21 } \\ { 5 x + 2 y = 4 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = -\frac{22}{19} = -1\frac{3}{19} \approx -1.157894737$$

$$y = \frac{93}{19} = 4\frac{17}{19} \approx 4.894736842$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3x+5y=21,5x+2y=4$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$3x+5y=21$$

اطرح 5y من طرفي المعادلة.

$$3x=-5y+21$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+21\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في -5y+21.

$$x=-\frac{5}{3}y+7$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{5y}{3}+7 في المعادلة الأخرى، 5x+2y=4.

$$5\left(-\frac{5}{3}y+7\right)+2y=4$$

اضرب 5 في -\frac{5y}{3}+7.

$$-\frac{25}{3}y+35+2y=4$$

اجمع -\frac{25y}{3} مع 2y.

$$-\frac{19}{3}y+35=4$$

اطرح 35 من طرفي المعادلة.

$$-\frac{19}{3}y=-31$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{19}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{93}{19}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{93}{19} في x=-\frac{5}{3}y+7. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{5}{3}\times \frac{93}{19}+7$$

اضرب -\frac{5}{3} في \frac{93}{19} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{155}{19}+7$$

اجمع 7 مع -\frac{155}{19}.

$$x=-\frac{22}{19}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{22}{19},y=\frac{93}{19}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3x+5y=21,5x+2y=4$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\4\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&5\\5&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\4\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\4\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\4\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-5\times 5}&-\frac{5}{3\times 2-5\times 5}\\-\frac{5}{3\times 2-5\times 5}&\frac{3}{3\times 2-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\4\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{19}&\frac{5}{19}\\\frac{5}{19}&-\frac{3}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\4\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{19}\times 21+\frac{5}{19}\times 4\\\frac{5}{19}\times 21-\frac{3}{19}\times 4\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{22}{19}\\\frac{93}{19}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-\frac{22}{19},y=\frac{93}{19}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3x+5y=21,5x+2y=4$$

لجعل 3x و5x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 5 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 3.

$$5\times 3x+5\times 5y=5\times 21,3\times 5x+3\times 2y=3\times 4$$

تبسيط.

$$15x+25y=105,15x+6y=12$$

اطرح 15x+6y=12 من 15x+25y=105 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$15x-15x+25y-6y=105-12$$

اجمع 15x مع -15x. حذف الحدين 15x و-15x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$25y-6y=105-12$$

اجمع 25y مع -6y.

$$19y=105-12$$

اجمع 105 مع -12.

$$19y=93$$

قسمة طرفي المعادلة على 19.

$$y=\frac{93}{19}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{93}{19} في 5x+2y=4. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$5x+2\times \frac{93}{19}=4$$

اضرب 2 في \frac{93}{19}.

$$5x+\frac{186}{19}=4$$

اطرح \frac{186}{19} من طرفي المعادلة.

$$5x=-\frac{110}{19}$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=-\frac{22}{19}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{22}{19},y=\frac{93}{19}$$