حل {l}{3x+5y=-24}{-5x+2y=-22x}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = - 24 } \\ { - 5 x + 2 y = - 22 x } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=\frac{48}{79}\approx 0.607594937$$

$$y = -\frac{408}{79} = -5\frac{13}{79} \approx -5.164556962$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. إضافة 22x لكلا الجانبين.

$$-5x+2y+22x=0$$

اجمع -5x مع 22x لتحصل على 17x.

$$17x+2y=0$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3x+5y=-24,17x+2y=0$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$3x+5y=-24$$

اطرح 5y من طرفي المعادلة.

$$3x=-5y-24$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y-24\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في -5y-24.

$$x=-\frac{5}{3}y-8$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{5y}{3}-8 في المعادلة الأخرى، 17x+2y=0.

$$17\left(-\frac{5}{3}y-8\right)+2y=0$$

اضرب 17 في -\frac{5y}{3}-8.

$$-\frac{85}{3}y-136+2y=0$$

اجمع -\frac{85y}{3} مع 2y.

$$-\frac{79}{3}y-136=0$$

أضف 136 إلى طرفي المعادلة.

$$-\frac{79}{3}y=136$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{79}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-\frac{408}{79}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{408}{79} في x=-\frac{5}{3}y-8. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{5}{3}\left(-\frac{408}{79}\right)-8$$

اضرب -\frac{5}{3} في -\frac{408}{79} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{680}{79}-8$$

اجمع -8 مع \frac{680}{79}.

$$x=\frac{48}{79}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{48}{79},y=-\frac{408}{79}$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. إضافة 22x لكلا الجانبين.

$$-5x+2y+22x=0$$

اجمع -5x مع 22x لتحصل على 17x.

$$17x+2y=0$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3x+5y=-24,17x+2y=0$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-5\times 17}&-\frac{5}{3\times 2-5\times 17}\\-\frac{17}{3\times 2-5\times 17}&\frac{3}{3\times 2-5\times 17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{79}&\frac{5}{79}\\\frac{17}{79}&-\frac{3}{79}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{79}\left(-24\right)\\\frac{17}{79}\left(-24\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{48}{79}\\-\frac{408}{79}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{48}{79},y=-\frac{408}{79}$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. إضافة 22x لكلا الجانبين.

$$-5x+2y+22x=0$$

اجمع -5x مع 22x لتحصل على 17x.

$$17x+2y=0$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3x+5y=-24,17x+2y=0$$

لجعل 3x و17x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 17 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 3.

$$17\times 3x+17\times 5y=17\left(-24\right),3\times 17x+3\times 2y=0$$

تبسيط.

$$51x+85y=-408,51x+6y=0$$

اطرح 51x+6y=0 من 51x+85y=-408 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$51x-51x+85y-6y=-408$$

اجمع 51x مع -51x. حذف الحدين 51x و-51x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$85y-6y=-408$$

اجمع 85y مع -6y.

$$79y=-408$$

قسمة طرفي المعادلة على 79.

$$y=-\frac{408}{79}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{408}{79} في 17x+2y=0. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$17x+2\left(-\frac{408}{79}\right)=0$$

اضرب 2 في -\frac{408}{79}.

$$17x-\frac{816}{79}=0$$

أضف \frac{816}{79} إلى طرفي المعادلة.

$$17x=\frac{816}{79}$$

قسمة طرفي المعادلة على 17.

$$x=\frac{48}{79}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{48}{79},y=-\frac{408}{79}$$