حل {l}{3x+4y=85}{x+y=25}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = 85 } \\ { x + y = 25 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=15$$

$$y=10$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3x+4y=85,x+y=25$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$3x+4y=85$$

اطرح 4y من طرفي المعادلة.

$$3x=-4y+85$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+85\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في -4y+85.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{85}{3}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-4y+85}{3} في المعادلة الأخرى، x+y=25.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{85}{3}+y=25$$

اجمع -\frac{4y}{3} مع y.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{85}{3}=25$$

اطرح \frac{85}{3} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{1}{3}y=-\frac{10}{3}$$

ضرب طرفي المعادلة في -3.

$$y=10$$

عوّض عن y بالقيمة 10 في x=-\frac{4}{3}y+\frac{85}{3}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{4}{3}\times 10+\frac{85}{3}$$

اضرب -\frac{4}{3} في 10.

$$x=\frac{-40+85}{3}$$

اجمع \frac{85}{3} مع -\frac{40}{3} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=15$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=15,y=10$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3x+4y=85,x+y=25$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}85\\25\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&4\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}85\\25\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}85\\25\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}85\\25\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-4}&-\frac{4}{3-4}\\-\frac{1}{3-4}&\frac{3}{3-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}85\\25\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&4\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}85\\25\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-85+4\times 25\\85-3\times 25\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=15,y=10$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3x+4y=85,x+y=25$$

لجعل 3x وx متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 3.

$$3x+4y=85,3x+3y=3\times 25$$

تبسيط.

$$3x+4y=85,3x+3y=75$$

اطرح 3x+3y=75 من 3x+4y=85 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$3x-3x+4y-3y=85-75$$

اجمع 3x مع -3x. حذف الحدين 3x و-3x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$4y-3y=85-75$$

اجمع 4y مع -3y.

$$y=85-75$$

اجمع 85 مع -75.

$$y=10$$

عوّض عن y بالقيمة 10 في x+y=25. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x+10=25$$

اطرح 10 من طرفي المعادلة.

$$x=15$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=15,y=10$$