حل {l}{3x+4y=3}{8x+7y=14}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = 3 } \\ { 8 x + 7 y = 14 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{35}{11} = 3\frac{2}{11} \approx 3.181818182$$

$$y = -\frac{18}{11} = -1\frac{7}{11} \approx -1.636363636$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3x+4y=3,8x+7y=14$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$3x+4y=3$$

اطرح 4y من طرفي المعادلة.

$$3x=-4y+3$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+3\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في -4y+3.

$$x=-\frac{4}{3}y+1$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{4y}{3}+1 في المعادلة الأخرى، 8x+7y=14.

$$8\left(-\frac{4}{3}y+1\right)+7y=14$$

اضرب 8 في -\frac{4y}{3}+1.

$$-\frac{32}{3}y+8+7y=14$$

اجمع -\frac{32y}{3} مع 7y.

$$-\frac{11}{3}y+8=14$$

اطرح 8 من طرفي المعادلة.

$$-\frac{11}{3}y=6$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{11}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-\frac{18}{11}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{18}{11} في x=-\frac{4}{3}y+1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{4}{3}\left(-\frac{18}{11}\right)+1$$

اضرب -\frac{4}{3} في -\frac{18}{11} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{24}{11}+1$$

اجمع 1 مع \frac{24}{11}.

$$x=\frac{35}{11}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{35}{11},y=-\frac{18}{11}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3x+4y=3,8x+7y=14$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\14\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\14\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\14\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\14\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3\times 7-4\times 8}&-\frac{4}{3\times 7-4\times 8}\\-\frac{8}{3\times 7-4\times 8}&\frac{3}{3\times 7-4\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\14\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{11}&\frac{4}{11}\\\frac{8}{11}&-\frac{3}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\14\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{11}\times 3+\frac{4}{11}\times 14\\\frac{8}{11}\times 3-\frac{3}{11}\times 14\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{35}{11}\\-\frac{18}{11}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{35}{11},y=-\frac{18}{11}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3x+4y=3,8x+7y=14$$

لجعل 3x و8x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 8 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 3.

$$8\times 3x+8\times 4y=8\times 3,3\times 8x+3\times 7y=3\times 14$$

تبسيط.

$$24x+32y=24,24x+21y=42$$

اطرح 24x+21y=42 من 24x+32y=24 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$24x-24x+32y-21y=24-42$$

اجمع 24x مع -24x. حذف الحدين 24x و-24x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$32y-21y=24-42$$

اجمع 32y مع -21y.

$$11y=24-42$$

اجمع 24 مع -42.

$$11y=-18$$

قسمة طرفي المعادلة على 11.

$$y=-\frac{18}{11}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{18}{11} في 8x+7y=14. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$8x+7\left(-\frac{18}{11}\right)=14$$

اضرب 7 في -\frac{18}{11}.

$$8x-\frac{126}{11}=14$$

أضف \frac{126}{11} إلى طرفي المعادلة.

$$8x=\frac{280}{11}$$

قسمة طرفي المعادلة على 8.

$$x=\frac{35}{11}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{35}{11},y=-\frac{18}{11}$$