حل {l}{3x+4y=253}{y=5x}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = 253 } \\ { y = 5 x } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=11$$

$$y=55$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 5x من الطرفين.

$$y-5x=0$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3x+4y=253,-5x+y=0$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$3x+4y=253$$

اطرح 4y من طرفي المعادلة.

$$3x=-4y+253$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+253\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في -4y+253.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{253}{3}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-4y+253}{3} في المعادلة الأخرى، -5x+y=0.

$$-5\left(-\frac{4}{3}y+\frac{253}{3}\right)+y=0$$

اضرب -5 في \frac{-4y+253}{3}.

$$\frac{20}{3}y-\frac{1265}{3}+y=0$$

اجمع \frac{20y}{3} مع y.

$$\frac{23}{3}y-\frac{1265}{3}=0$$

أضف \frac{1265}{3} إلى طرفي المعادلة.

$$\frac{23}{3}y=\frac{1265}{3}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{23}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=55$$

عوّض عن y بالقيمة 55 في x=-\frac{4}{3}y+\frac{253}{3}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{4}{3}\times 55+\frac{253}{3}$$

اضرب -\frac{4}{3} في 55.

$$x=\frac{-220+253}{3}$$

اجمع \frac{253}{3} مع -\frac{220}{3} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=11$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=11,y=55$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 5x من الطرفين.

$$y-5x=0$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3x+4y=253,-5x+y=0$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\-5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}253\\0\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&4\\-5&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\-5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}253\\0\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}253\\0\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}253\\0\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-4\left(-5\right)}&-\frac{4}{3-4\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{3-4\left(-5\right)}&\frac{3}{3-4\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}253\\0\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{23}&-\frac{4}{23}\\\frac{5}{23}&\frac{3}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}253\\0\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{23}\times 253\\\frac{5}{23}\times 253\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\55\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=11,y=55$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 5x من الطرفين.

$$y-5x=0$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3x+4y=253,-5x+y=0$$

لجعل 3x و-5x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -5 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 3.

$$-5\times 3x-5\times 4y=-5\times 253,3\left(-5\right)x+3y=0$$

تبسيط.

$$-15x-20y=-1265,-15x+3y=0$$

اطرح -15x+3y=0 من -15x-20y=-1265 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-15x+15x-20y-3y=-1265$$

اجمع -15x مع 15x. حذف الحدين -15x و15x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-20y-3y=-1265$$

اجمع -20y مع -3y.

$$-23y=-1265$$

قسمة طرفي المعادلة على -23.

$$y=55$$

عوّض عن y بالقيمة 55 في -5x+y=0. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-5x+55=0$$

اطرح 55 من طرفي المعادلة.

$$-5x=-55$$

قسمة طرفي المعادلة على -5.

$$x=11$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=11,y=55$$