حل {l}{3x+2y=87}{5x+6y=187}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 87 } \\ { 5 x + 6 y = 187 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{37}{2} = 18\frac{1}{2} = 18.5$$

$$y = \frac{63}{4} = 15\frac{3}{4} = 15.75$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3x+2y=87,5x+6y=187$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$3x+2y=87$$

اطرح 2y من طرفي المعادلة.

$$3x=-2y+87$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+87\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في -2y+87.

$$x=-\frac{2}{3}y+29$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{2y}{3}+29 في المعادلة الأخرى، 5x+6y=187.

$$5\left(-\frac{2}{3}y+29\right)+6y=187$$

اضرب 5 في -\frac{2y}{3}+29.

$$-\frac{10}{3}y+145+6y=187$$

اجمع -\frac{10y}{3} مع 6y.

$$\frac{8}{3}y+145=187$$

اطرح 145 من طرفي المعادلة.

$$\frac{8}{3}y=42$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{8}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{63}{4}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{63}{4} في x=-\frac{2}{3}y+29. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{63}{4}+29$$

اضرب -\frac{2}{3} في \frac{63}{4} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{21}{2}+29$$

اجمع 29 مع -\frac{21}{2}.

$$x=\frac{37}{2}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{37}{2},y=\frac{63}{4}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3x+2y=87,5x+6y=187$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}87\\187\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&2\\5&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}87\\187\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}87\\187\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}87\\187\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{3\times 6-2\times 5}&-\frac{2}{3\times 6-2\times 5}\\-\frac{5}{3\times 6-2\times 5}&\frac{3}{3\times 6-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}87\\187\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&-\frac{1}{4}\\-\frac{5}{8}&\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}87\\187\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\times 87-\frac{1}{4}\times 187\\-\frac{5}{8}\times 87+\frac{3}{8}\times 187\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{37}{2}\\\frac{63}{4}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{37}{2},y=\frac{63}{4}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3x+2y=87,5x+6y=187$$

لجعل 3x و5x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 5 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 3.

$$5\times 3x+5\times 2y=5\times 87,3\times 5x+3\times 6y=3\times 187$$

تبسيط.

$$15x+10y=435,15x+18y=561$$

اطرح 15x+18y=561 من 15x+10y=435 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$15x-15x+10y-18y=435-561$$

اجمع 15x مع -15x. حذف الحدين 15x و-15x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$10y-18y=435-561$$

اجمع 10y مع -18y.

$$-8y=435-561$$

اجمع 435 مع -561.

$$-8y=-126$$

قسمة طرفي المعادلة على -8.

$$y=\frac{63}{4}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{63}{4} في 5x+6y=187. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$5x+6\times \frac{63}{4}=187$$

اضرب 6 في \frac{63}{4}.

$$5x+\frac{189}{2}=187$$

اطرح \frac{189}{2} من طرفي المعادلة.

$$5x=\frac{185}{2}$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=\frac{37}{2}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{37}{2},y=\frac{63}{4}$$