حل {l}{3x+2y=7}{4x+6y=13}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 7 } \\ { 4 x + 6 y = 13 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{8}{5} = 1\frac{3}{5} = 1.6$$

$$y = \frac{11}{10} = 1\frac{1}{10} = 1.1$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3x+2y=7,4x+6y=13$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$3x+2y=7$$

اطرح 2y من طرفي المعادلة.

$$3x=-2y+7$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+7\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في -2y+7.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-2y+7}{3} في المعادلة الأخرى، 4x+6y=13.

$$4\left(-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}\right)+6y=13$$

اضرب 4 في \frac{-2y+7}{3}.

$$-\frac{8}{3}y+\frac{28}{3}+6y=13$$

اجمع -\frac{8y}{3} مع 6y.

$$\frac{10}{3}y+\frac{28}{3}=13$$

اطرح \frac{28}{3} من طرفي المعادلة.

$$\frac{10}{3}y=\frac{11}{3}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{10}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{11}{10}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{11}{10} في x=-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{11}{10}+\frac{7}{3}$$

اضرب -\frac{2}{3} في \frac{11}{10} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{11}{15}+\frac{7}{3}$$

اجمع \frac{7}{3} مع -\frac{11}{15} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{8}{5}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{8}{5},y=\frac{11}{10}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3x+2y=7,4x+6y=13$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\13\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&2\\4&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\13\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\13\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\13\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{3\times 6-2\times 4}&-\frac{2}{3\times 6-2\times 4}\\-\frac{4}{3\times 6-2\times 4}&\frac{3}{3\times 6-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\13\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{2}{5}&\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\13\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 7-\frac{1}{5}\times 13\\-\frac{2}{5}\times 7+\frac{3}{10}\times 13\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{5}\\\frac{11}{10}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{8}{5},y=\frac{11}{10}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3x+2y=7,4x+6y=13$$

لجعل 3x و4x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 4 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 3.

$$4\times 3x+4\times 2y=4\times 7,3\times 4x+3\times 6y=3\times 13$$

تبسيط.

$$12x+8y=28,12x+18y=39$$

اطرح 12x+18y=39 من 12x+8y=28 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$12x-12x+8y-18y=28-39$$

اجمع 12x مع -12x. حذف الحدين 12x و-12x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$8y-18y=28-39$$

اجمع 8y مع -18y.

$$-10y=28-39$$

اجمع 28 مع -39.

$$-10y=-11$$

قسمة طرفي المعادلة على -10.

$$y=\frac{11}{10}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{11}{10} في 4x+6y=13. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$4x+6\times \frac{11}{10}=13$$

اضرب 6 في \frac{11}{10}.

$$4x+\frac{33}{5}=13$$

اطرح \frac{33}{5} من طرفي المعادلة.

$$4x=\frac{32}{5}$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=\frac{8}{5}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{8}{5},y=\frac{11}{10}$$