حل {l}{3x+2y=4}{3y+6x=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 4 } \\ { 3 y + 6 x = 10 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2.666666667$$

$$y=-2$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3x+2y=4,6x+3y=10$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$3x+2y=4$$

اطرح 2y من طرفي المعادلة.

$$3x=-2y+4$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+4\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في -2y+4.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{4}{3}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-2y+4}{3} في المعادلة الأخرى، 6x+3y=10.

$$6\left(-\frac{2}{3}y+\frac{4}{3}\right)+3y=10$$

اضرب 6 في \frac{-2y+4}{3}.

$$-4y+8+3y=10$$

اجمع -4y مع 3y.

$$-y+8=10$$

اطرح 8 من طرفي المعادلة.

$$-y=2$$

قسمة طرفي المعادلة على -1.

$$y=-2$$

عوّض عن y بالقيمة -2 في x=-\frac{2}{3}y+\frac{4}{3}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{2}{3}\left(-2\right)+\frac{4}{3}$$

اضرب -\frac{2}{3} في -2.

$$x=\frac{4+4}{3}$$

اجمع \frac{4}{3} مع \frac{4}{3} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{8}{3}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{8}{3},y=-2$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3x+2y=4,6x+3y=10$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&2\\6&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-2\times 6}&-\frac{2}{3\times 3-2\times 6}\\-\frac{6}{3\times 3-2\times 6}&\frac{3}{3\times 3-2\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&\frac{2}{3}\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4+\frac{2}{3}\times 10\\2\times 4-10\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3}\\-2\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{8}{3},y=-2$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3x+2y=4,6x+3y=10$$

لجعل 3x و6x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 6 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 3.

$$6\times 3x+6\times 2y=6\times 4,3\times 6x+3\times 3y=3\times 10$$

تبسيط.

$$18x+12y=24,18x+9y=30$$

اطرح 18x+9y=30 من 18x+12y=24 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$18x-18x+12y-9y=24-30$$

اجمع 18x مع -18x. حذف الحدين 18x و-18x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$12y-9y=24-30$$

اجمع 12y مع -9y.

$$3y=24-30$$

اجمع 24 مع -30.

$$3y=-6$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$y=-2$$

عوّض عن y بالقيمة -2 في 6x+3y=10. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$6x+3\left(-2\right)=10$$

اضرب 3 في -2.

$$6x-6=10$$

أضف 6 إلى طرفي المعادلة.

$$6x=16$$

قسمة طرفي المعادلة على 6.

$$x=\frac{8}{3}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{8}{3},y=-2$$