حل {l}{3x+2y=32}{-x+3y=15}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 32 } \\ { - x + 3 y = 15 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=6$$

$$y=7$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3x+2y=32,-x+3y=15$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$3x+2y=32$$

اطرح 2y من طرفي المعادلة.

$$3x=-2y+32$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+32\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في -2y+32.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{32}{3}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-2y+32}{3} في المعادلة الأخرى، -x+3y=15.

$$-\left(-\frac{2}{3}y+\frac{32}{3}\right)+3y=15$$

اضرب -1 في \frac{-2y+32}{3}.

$$\frac{2}{3}y-\frac{32}{3}+3y=15$$

اجمع \frac{2y}{3} مع 3y.

$$\frac{11}{3}y-\frac{32}{3}=15$$

أضف \frac{32}{3} إلى طرفي المعادلة.

$$\frac{11}{3}y=\frac{77}{3}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{11}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=7$$

عوّض عن y بالقيمة 7 في x=-\frac{2}{3}y+\frac{32}{3}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{2}{3}\times 7+\frac{32}{3}$$

اضرب -\frac{2}{3} في 7.

$$x=\frac{-14+32}{3}$$

اجمع \frac{32}{3} مع -\frac{14}{3} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=6$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=6,y=7$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3x+2y=32,-x+3y=15$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}32\\15\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&2\\-1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\15\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\15\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\15\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-2\left(-1\right)}&-\frac{2}{3\times 3-2\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3\times 3-2\left(-1\right)}&\frac{3}{3\times 3-2\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}32\\15\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}&-\frac{2}{11}\\\frac{1}{11}&\frac{3}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}32\\15\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}\times 32-\frac{2}{11}\times 15\\\frac{1}{11}\times 32+\frac{3}{11}\times 15\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=6,y=7$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3x+2y=32,-x+3y=15$$

لجعل 3x و-x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 3.

$$-3x-2y=-32,3\left(-1\right)x+3\times 3y=3\times 15$$

تبسيط.

$$-3x-2y=-32,-3x+9y=45$$

اطرح -3x+9y=45 من -3x-2y=-32 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-3x+3x-2y-9y=-32-45$$

اجمع -3x مع 3x. حذف الحدين -3x و3x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-2y-9y=-32-45$$

اجمع -2y مع -9y.

$$-11y=-32-45$$

اجمع -32 مع -45.

$$-11y=-77$$

قسمة طرفي المعادلة على -11.

$$y=7$$

عوّض عن y بالقيمة 7 في -x+3y=15. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-x+3\times 7=15$$

اضرب 3 في 7.

$$-x+21=15$$

اطرح 21 من طرفي المعادلة.

$$-x=-6$$

قسمة طرفي المعادلة على -1.

$$x=6$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=6,y=7$$