حل {l}{3x+2y=11}{4x+9y=117}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 11 } \\ { 4 x + 9 y = 117 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = -\frac{135}{19} = -7\frac{2}{19} \approx -7.105263158$$

$$y = \frac{307}{19} = 16\frac{3}{19} \approx 16.157894737$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3x+2y=11,4x+9y=117$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$3x+2y=11$$

اطرح 2y من طرفي المعادلة.

$$3x=-2y+11$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+11\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في -2y+11.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{11}{3}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-2y+11}{3} في المعادلة الأخرى، 4x+9y=117.

$$4\left(-\frac{2}{3}y+\frac{11}{3}\right)+9y=117$$

اضرب 4 في \frac{-2y+11}{3}.

$$-\frac{8}{3}y+\frac{44}{3}+9y=117$$

اجمع -\frac{8y}{3} مع 9y.

$$\frac{19}{3}y+\frac{44}{3}=117$$

اطرح \frac{44}{3} من طرفي المعادلة.

$$\frac{19}{3}y=\frac{307}{3}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{19}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{307}{19}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{307}{19} في x=-\frac{2}{3}y+\frac{11}{3}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{307}{19}+\frac{11}{3}$$

اضرب -\frac{2}{3} في \frac{307}{19} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{614}{57}+\frac{11}{3}$$

اجمع \frac{11}{3} مع -\frac{614}{57} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{135}{19}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{135}{19},y=\frac{307}{19}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3x+2y=11,4x+9y=117$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\4&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\117\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&2\\4&9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\4&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\117\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\117\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\117\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{3\times 9-2\times 4}&-\frac{2}{3\times 9-2\times 4}\\-\frac{4}{3\times 9-2\times 4}&\frac{3}{3\times 9-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\117\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{19}&-\frac{2}{19}\\-\frac{4}{19}&\frac{3}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\117\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{19}\times 11-\frac{2}{19}\times 117\\-\frac{4}{19}\times 11+\frac{3}{19}\times 117\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{135}{19}\\\frac{307}{19}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-\frac{135}{19},y=\frac{307}{19}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3x+2y=11,4x+9y=117$$

لجعل 3x و4x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 4 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 3.

$$4\times 3x+4\times 2y=4\times 11,3\times 4x+3\times 9y=3\times 117$$

تبسيط.

$$12x+8y=44,12x+27y=351$$

اطرح 12x+27y=351 من 12x+8y=44 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$12x-12x+8y-27y=44-351$$

اجمع 12x مع -12x. حذف الحدين 12x و-12x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$8y-27y=44-351$$

اجمع 8y مع -27y.

$$-19y=44-351$$

اجمع 44 مع -351.

$$-19y=-307$$

قسمة طرفي المعادلة على -19.

$$y=\frac{307}{19}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{307}{19} في 4x+9y=117. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$4x+9\times \frac{307}{19}=117$$

اضرب 9 في \frac{307}{19}.

$$4x+\frac{2763}{19}=117$$

اطرح \frac{2763}{19} من طرفي المعادلة.

$$4x=-\frac{540}{19}$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=-\frac{135}{19}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{135}{19},y=\frac{307}{19}$$