حل {l}{3x+2y=-8}{-x-2y=12}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = - 8 } \\ { - x - 2 y = 12 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=2$$

$$y=-7$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3x+2y=-8,-x-2y=12$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$3x+2y=-8$$

اطرح 2y من طرفي المعادلة.

$$3x=-2y-8$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y-8\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في -2y-8.

$$x=-\frac{2}{3}y-\frac{8}{3}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-2y-8}{3} في المعادلة الأخرى، -x-2y=12.

$$-\left(-\frac{2}{3}y-\frac{8}{3}\right)-2y=12$$

اضرب -1 في \frac{-2y-8}{3}.

$$\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}-2y=12$$

اجمع \frac{2y}{3} مع -2y.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{8}{3}=12$$

اطرح \frac{8}{3} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{4}{3}y=\frac{28}{3}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{4}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-7$$

عوّض عن y بالقيمة -7 في x=-\frac{2}{3}y-\frac{8}{3}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{2}{3}\left(-7\right)-\frac{8}{3}$$

اضرب -\frac{2}{3} في -7.

$$x=\frac{14-8}{3}$$

اجمع -\frac{8}{3} مع \frac{14}{3} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=2,y=-7$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3x+2y=-8,-x-2y=12$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\-1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\12\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&2\\-1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\-1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\12\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\12\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\12\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-2\left(-1\right)}&-\frac{2}{3\left(-2\right)-2\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3\left(-2\right)-2\left(-1\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-2\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\12\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{4}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\12\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-8\right)+\frac{1}{2}\times 12\\-\frac{1}{4}\left(-8\right)-\frac{3}{4}\times 12\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-7\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=2,y=-7$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3x+2y=-8,-x-2y=12$$

لجعل 3x و-x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 3.

$$-3x-2y=-\left(-8\right),3\left(-1\right)x+3\left(-2\right)y=3\times 12$$

تبسيط.

$$-3x-2y=8,-3x-6y=36$$

اطرح -3x-6y=36 من -3x-2y=8 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-3x+3x-2y+6y=8-36$$

اجمع -3x مع 3x. حذف الحدين -3x و3x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-2y+6y=8-36$$

اجمع -2y مع 6y.

$$4y=8-36$$

اجمع 8 مع -36.

$$4y=-28$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$y=-7$$

عوّض عن y بالقيمة -7 في -x-2y=12. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-x-2\left(-7\right)=12$$

اضرب -2 في -7.

$$-x+14=12$$

اطرح 14 من طرفي المعادلة.

$$-x=-2$$

قسمة طرفي المعادلة على -1.

$$x=2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=2,y=-7$$