حل {l}{3x+2y=-1}{6x+6y=-5}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = - 1 } \\ { 6 x + 6 y = - 5 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

$$y = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3x+2y=-1,6x+6y=-5$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$3x+2y=-1$$

اطرح 2y من طرفي المعادلة.

$$3x=-2y-1$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y-1\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في -2y-1.

$$x=-\frac{2}{3}y-\frac{1}{3}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-2y-1}{3} في المعادلة الأخرى، 6x+6y=-5.

$$6\left(-\frac{2}{3}y-\frac{1}{3}\right)+6y=-5$$

اضرب 6 في \frac{-2y-1}{3}.

$$-4y-2+6y=-5$$

اجمع -4y مع 6y.

$$2y-2=-5$$

أضف 2 إلى طرفي المعادلة.

$$2y=-3$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$y=-\frac{3}{2}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{3}{2} في x=-\frac{2}{3}y-\frac{1}{3}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{2}{3}\left(-\frac{3}{2}\right)-\frac{1}{3}$$

اضرب -\frac{2}{3} في -\frac{3}{2} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=1-\frac{1}{3}$$

اجمع -\frac{1}{3} مع 1.

$$x=\frac{2}{3}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{2}{3},y=-\frac{3}{2}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3x+2y=-1,6x+6y=-5$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\6&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&2\\6&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\6&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{3\times 6-2\times 6}&-\frac{2}{3\times 6-2\times 6}\\-\frac{6}{3\times 6-2\times 6}&\frac{3}{3\times 6-2\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\-1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1-\frac{1}{3}\left(-5\right)\\-\left(-1\right)+\frac{1}{2}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{2}{3},y=-\frac{3}{2}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3x+2y=-1,6x+6y=-5$$

لجعل 3x و6x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 6 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 3.

$$6\times 3x+6\times 2y=6\left(-1\right),3\times 6x+3\times 6y=3\left(-5\right)$$

تبسيط.

$$18x+12y=-6,18x+18y=-15$$

اطرح 18x+18y=-15 من 18x+12y=-6 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$18x-18x+12y-18y=-6+15$$

اجمع 18x مع -18x. حذف الحدين 18x و-18x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$12y-18y=-6+15$$

اجمع 12y مع -18y.

$$-6y=-6+15$$

اجمع -6 مع 15.

$$-6y=9$$

قسمة طرفي المعادلة على -6.

$$y=-\frac{3}{2}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{3}{2} في 6x+6y=-5. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$6x+6\left(-\frac{3}{2}\right)=-5$$

اضرب 6 في -\frac{3}{2}.

$$6x-9=-5$$

أضف 9 إلى طرفي المعادلة.

$$6x=4$$

قسمة طرفي المعادلة على 6.

$$x=\frac{2}{3}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{2}{3},y=-\frac{3}{2}$$