حل {l}{3x+10y=11}{-10x-8y=14}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 10 y = 11 } \\ { - 10 x - 8 y = 14 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-3$$

$$y=2$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3x+10y=11,-10x-8y=14$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$3x+10y=11$$

اطرح 10y من طرفي المعادلة.

$$3x=-10y+11$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-10y+11\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في -10y+11.

$$x=-\frac{10}{3}y+\frac{11}{3}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-10y+11}{3} في المعادلة الأخرى، -10x-8y=14.

$$-10\left(-\frac{10}{3}y+\frac{11}{3}\right)-8y=14$$

اضرب -10 في \frac{-10y+11}{3}.

$$\frac{100}{3}y-\frac{110}{3}-8y=14$$

اجمع \frac{100y}{3} مع -8y.

$$\frac{76}{3}y-\frac{110}{3}=14$$

أضف \frac{110}{3} إلى طرفي المعادلة.

$$\frac{76}{3}y=\frac{152}{3}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{76}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=2$$

عوّض عن y بالقيمة 2 في x=-\frac{10}{3}y+\frac{11}{3}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{10}{3}\times 2+\frac{11}{3}$$

اضرب -\frac{10}{3} في 2.

$$x=\frac{-20+11}{3}$$

اجمع \frac{11}{3} مع -\frac{20}{3} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-3,y=2$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3x+10y=11,-10x-8y=14$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&10\\-10&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\14\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&10\\-10&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-10&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&10\\-10&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-10&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\14\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-10&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\14\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-10&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\14\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{3\left(-8\right)-10\left(-10\right)}&-\frac{10}{3\left(-8\right)-10\left(-10\right)}\\-\frac{-10}{3\left(-8\right)-10\left(-10\right)}&\frac{3}{3\left(-8\right)-10\left(-10\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\14\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{19}&-\frac{5}{38}\\\frac{5}{38}&\frac{3}{76}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\14\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{19}\times 11-\frac{5}{38}\times 14\\\frac{5}{38}\times 11+\frac{3}{76}\times 14\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-3,y=2$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3x+10y=11,-10x-8y=14$$

لجعل 3x و-10x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -10 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 3.

$$-10\times 3x-10\times 10y=-10\times 11,3\left(-10\right)x+3\left(-8\right)y=3\times 14$$

تبسيط.

$$-30x-100y=-110,-30x-24y=42$$

اطرح -30x-24y=42 من -30x-100y=-110 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-30x+30x-100y+24y=-110-42$$

اجمع -30x مع 30x. حذف الحدين -30x و30x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-100y+24y=-110-42$$

اجمع -100y مع 24y.

$$-76y=-110-42$$

اجمع -110 مع -42.

$$-76y=-152$$

قسمة طرفي المعادلة على -76.

$$y=2$$

عوّض عن y بالقيمة 2 في -10x-8y=14. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-10x-8\times 2=14$$

اضرب -8 في 2.

$$-10x-16=14$$

أضف 16 إلى طرفي المعادلة.

$$-10x=30$$

قسمة طرفي المعادلة على -10.

$$x=-3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-3,y=2$$