حل {l}{3u+z=15}{u+2z=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 u + z = 15 } \\ { u + 2 z = 10 } \end{array} \right.$$

حل مسائل u، z

$$z=3$$

$$u=4$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3u+z=15,u+2z=10$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة u بعزل u على يسار علامة التساوي.

$$3u+z=15$$

اطرح z من طرفي المعادلة.

$$3u=-z+15$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$u=\frac{1}{3}\left(-z+15\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في -z+15.

$$u=-\frac{1}{3}z+5$$

عوّض عن u بالقيمة -\frac{z}{3}+5 في المعادلة الأخرى، u+2z=10.

$$-\frac{1}{3}z+5+2z=10$$

اجمع -\frac{z}{3} مع 2z.

$$\frac{5}{3}z+5=10$$

اطرح 5 من طرفي المعادلة.

$$\frac{5}{3}z=5$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{5}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$z=3$$

عوّض عن z بالقيمة 3 في u=-\frac{1}{3}z+5. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة u مباشرةً.

$$u=-\frac{1}{3}\times 3+5$$

اضرب -\frac{1}{3} في 3.

$$u=-1+5$$

اجمع 5 مع -1.

$$u=4$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$u=4,z=3$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3u+z=15,u+2z=10$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-1}&-\frac{1}{3\times 2-1}\\-\frac{1}{3\times 2-1}&\frac{3}{3\times 2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 15-\frac{1}{5}\times 10\\-\frac{1}{5}\times 15+\frac{3}{5}\times 10\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة u وz.

$$u=4,z=3$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3u+z=15,u+2z=10$$

لجعل 3u وu متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 3.

$$3u+z=15,3u+3\times 2z=3\times 10$$

تبسيط.

$$3u+z=15,3u+6z=30$$

اطرح 3u+6z=30 من 3u+z=15 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$3u-3u+z-6z=15-30$$

اجمع 3u مع -3u. حذف الحدين 3u و-3u، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$z-6z=15-30$$

اجمع z مع -6z.

$$-5z=15-30$$

اجمع 15 مع -30.

$$-5z=-15$$

قسمة طرفي المعادلة على -5.

$$z=3$$

عوّض عن z بالقيمة 3 في u+2z=10. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة u مباشرةً.

$$u+2\times 3=10$$

اضرب 2 في 3.

$$u+6=10$$

اطرح 6 من طرفي المعادلة.

$$u=4$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$u=4,z=3$$