حل {l}{3c+5z=-15}{5c+3z=-9}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 c + 5 z = - 15 } \\ { 5 c + 3 z = - 9 } \end{array} \right.$$

حل مسائل c، z

$$z=-3$$

$$c=0$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3c+5z=-15,5c+3z=-9$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة c بعزل c على يسار علامة التساوي.

$$3c+5z=-15$$

اطرح 5z من طرفي المعادلة.

$$3c=-5z-15$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$c=\frac{1}{3}\left(-5z-15\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في -5z-15.

$$c=-\frac{5}{3}z-5$$

عوّض عن c بالقيمة -\frac{5z}{3}-5 في المعادلة الأخرى، 5c+3z=-9.

$$5\left(-\frac{5}{3}z-5\right)+3z=-9$$

اضرب 5 في -\frac{5z}{3}-5.

$$-\frac{25}{3}z-25+3z=-9$$

اجمع -\frac{25z}{3} مع 3z.

$$-\frac{16}{3}z-25=-9$$

أضف 25 إلى طرفي المعادلة.

$$-\frac{16}{3}z=16$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{16}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$z=-3$$

عوّض عن z بالقيمة -3 في c=-\frac{5}{3}z-5. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة c مباشرةً.

$$c=-\frac{5}{3}\left(-3\right)-5$$

اضرب -\frac{5}{3} في -3.

$$c=5-5$$

اجمع -5 مع 5.

$$c=0$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$c=0,z=-3$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3c+5z=-15,5c+3z=-9$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-5\times 5}&-\frac{5}{3\times 3-5\times 5}\\-\frac{5}{3\times 3-5\times 5}&\frac{3}{3\times 3-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{16}&\frac{5}{16}\\\frac{5}{16}&-\frac{3}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{16}\left(-15\right)+\frac{5}{16}\left(-9\right)\\\frac{5}{16}\left(-15\right)-\frac{3}{16}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة c وz.

$$c=0,z=-3$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3c+5z=-15,5c+3z=-9$$

لجعل 3c و5c متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 5 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 3.

$$5\times 3c+5\times 5z=5\left(-15\right),3\times 5c+3\times 3z=3\left(-9\right)$$

تبسيط.

$$15c+25z=-75,15c+9z=-27$$

اطرح 15c+9z=-27 من 15c+25z=-75 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$15c-15c+25z-9z=-75+27$$

اجمع 15c مع -15c. حذف الحدين 15c و-15c، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$25z-9z=-75+27$$

اجمع 25z مع -9z.

$$16z=-75+27$$

اجمع -75 مع 27.

$$16z=-48$$

قسمة طرفي المعادلة على 16.

$$z=-3$$

عوّض عن z بالقيمة -3 في 5c+3z=-9. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة c مباشرةً.

$$5c+3\left(-3\right)=-9$$

اضرب 3 في -3.

$$5c-9=-9$$

أضف 9 إلى طرفي المعادلة.

$$5c=0$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$c=0$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$c=0,z=-3$$