حل {l}{3c+2x=5}{2c+4x=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 c + 2 x = 5 } \\ { 2 c + 4 x = 6 } \end{array} \right.$$

حل مسائل c، x

$$x=1$$

$$c=1$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3c+2x=5,2c+4x=6$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة c بعزل c على يسار علامة التساوي.

$$3c+2x=5$$

اطرح 2x من طرفي المعادلة.

$$3c=-2x+5$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$c=\frac{1}{3}\left(-2x+5\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في -2x+5.

$$c=-\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}$$

عوّض عن c بالقيمة \frac{-2x+5}{3} في المعادلة الأخرى، 2c+4x=6.

$$2\left(-\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}\right)+4x=6$$

اضرب 2 في \frac{-2x+5}{3}.

$$-\frac{4}{3}x+\frac{10}{3}+4x=6$$

اجمع -\frac{4x}{3} مع 4x.

$$\frac{8}{3}x+\frac{10}{3}=6$$

اطرح \frac{10}{3} من طرفي المعادلة.

$$\frac{8}{3}x=\frac{8}{3}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{8}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$x=1$$

عوّض عن x بالقيمة 1 في c=-\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة c مباشرةً.

$$c=\frac{-2+5}{3}$$

اجمع \frac{5}{3} مع -\frac{2}{3} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$c=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$c=1,x=1$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3c+2x=5,2c+4x=6$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&2\\2&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}c\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}c\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-2\times 2}&-\frac{2}{3\times 4-2\times 2}\\-\frac{2}{3\times 4-2\times 2}&\frac{3}{3\times 4-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}c\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}c\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 5-\frac{1}{4}\times 6\\-\frac{1}{4}\times 5+\frac{3}{8}\times 6\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}c\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة c وx.

$$c=1,x=1$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3c+2x=5,2c+4x=6$$

لجعل 3c و2c متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 3.

$$2\times 3c+2\times 2x=2\times 5,3\times 2c+3\times 4x=3\times 6$$

تبسيط.

$$6c+4x=10,6c+12x=18$$

اطرح 6c+12x=18 من 6c+4x=10 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$6c-6c+4x-12x=10-18$$

اجمع 6c مع -6c. حذف الحدين 6c و-6c، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$4x-12x=10-18$$

اجمع 4x مع -12x.

$$-8x=10-18$$

اجمع 10 مع -18.

$$-8x=-8$$

قسمة طرفي المعادلة على -8.

$$x=1$$

عوّض عن x بالقيمة 1 في 2c+4x=6. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة c مباشرةً.

$$2c+4=6$$

اطرح 4 من طرفي المعادلة.

$$2c=2$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$c=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$c=1,x=1$$