حل {l}{3a-5b=37}{2a+2b=16}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 a - 5 b = 37 } \\ { 2 a + 2 b = 16 } \end{array} \right.$$

حل مسائل a، b

$$a = \frac{77}{8} = 9\frac{5}{8} = 9.625$$

$$b = -\frac{13}{8} = -1\frac{5}{8} = -1.625$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3a-5b=37,2a+2b=16$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة a بعزل a على يسار علامة التساوي.

$$3a-5b=37$$

أضف 5b إلى طرفي المعادلة.

$$3a=5b+37$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$a=\frac{1}{3}\left(5b+37\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في 5b+37.

$$a=\frac{5}{3}b+\frac{37}{3}$$

عوّض عن a بالقيمة \frac{5b+37}{3} في المعادلة الأخرى، 2a+2b=16.

$$2\left(\frac{5}{3}b+\frac{37}{3}\right)+2b=16$$

اضرب 2 في \frac{5b+37}{3}.

$$\frac{10}{3}b+\frac{74}{3}+2b=16$$

اجمع \frac{10b}{3} مع 2b.

$$\frac{16}{3}b+\frac{74}{3}=16$$

اطرح \frac{74}{3} من طرفي المعادلة.

$$\frac{16}{3}b=-\frac{26}{3}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{16}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$b=-\frac{13}{8}$$

عوّض عن b بالقيمة -\frac{13}{8} في a=\frac{5}{3}b+\frac{37}{3}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة a مباشرةً.

$$a=\frac{5}{3}\left(-\frac{13}{8}\right)+\frac{37}{3}$$

اضرب \frac{5}{3} في -\frac{13}{8} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$a=-\frac{65}{24}+\frac{37}{3}$$

اجمع \frac{37}{3} مع -\frac{65}{24} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$a=\frac{77}{8}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$a=\frac{77}{8},b=-\frac{13}{8}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3a-5b=37,2a+2b=16$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}37\\16\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&-5\\2&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}37\\16\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}37\\16\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}37\\16\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-5\times 2\right)}&-\frac{-5}{3\times 2-\left(-5\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\times 2-\left(-5\times 2\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-5\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}37\\16\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{5}{16}\\-\frac{1}{8}&\frac{3}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}37\\16\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 37+\frac{5}{16}\times 16\\-\frac{1}{8}\times 37+\frac{3}{16}\times 16\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{77}{8}\\-\frac{13}{8}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة a وb.

$$a=\frac{77}{8},b=-\frac{13}{8}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3a-5b=37,2a+2b=16$$

لجعل 3a و2a متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 3.

$$2\times 3a+2\left(-5\right)b=2\times 37,3\times 2a+3\times 2b=3\times 16$$

تبسيط.

$$6a-10b=74,6a+6b=48$$

اطرح 6a+6b=48 من 6a-10b=74 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$6a-6a-10b-6b=74-48$$

اجمع 6a مع -6a. حذف الحدين 6a و-6a، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-10b-6b=74-48$$

اجمع -10b مع -6b.

$$-16b=74-48$$

اجمع 74 مع -48.

$$-16b=26$$

قسمة طرفي المعادلة على -16.

$$b=-\frac{13}{8}$$

عوّض عن b بالقيمة -\frac{13}{8} في 2a+2b=16. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة a مباشرةً.

$$2a+2\left(-\frac{13}{8}\right)=16$$

اضرب 2 في -\frac{13}{8}.

$$2a-\frac{13}{4}=16$$

أضف \frac{13}{4} إلى طرفي المعادلة.

$$2a=\frac{77}{4}$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$a=\frac{77}{8}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$a=\frac{77}{8},b=-\frac{13}{8}$$