حل {l}{3a+b=9}{a+b=3}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 a + b = 9 } \\ { a + b = 3 } \end{array} \right.$$

حل مسائل a، b

$$a=3$$

$$b=0$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3a+b=9,a+b=3$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة a بعزل a على يسار علامة التساوي.

$$3a+b=9$$

اطرح b من طرفي المعادلة.

$$3a=-b+9$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$a=\frac{1}{3}\left(-b+9\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في -b+9.

$$a=-\frac{1}{3}b+3$$

عوّض عن a بالقيمة -\frac{b}{3}+3 في المعادلة الأخرى، a+b=3.

$$-\frac{1}{3}b+3+b=3$$

اجمع -\frac{b}{3} مع b.

$$\frac{2}{3}b+3=3$$

اطرح 3 من طرفي المعادلة.

$$\frac{2}{3}b=0$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{2}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$b=0$$

عوّض عن b بالقيمة 0 في a=-\frac{1}{3}b+3. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة a مباشرةً.

$$a=3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$a=3,b=0$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3a+b=9,a+b=3$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\3\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\3\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\3\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-1}&-\frac{1}{3-1}\\-\frac{1}{3-1}&\frac{3}{3-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\3\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 9-\frac{1}{2}\times 3\\-\frac{1}{2}\times 9+\frac{3}{2}\times 3\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\0\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة a وb.

$$a=3,b=0$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3a+b=9,a+b=3$$

اطرح a+b=3 من 3a+b=9 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$3a-a+b-b=9-3$$

اجمع b مع -b. حذف الحدين b و-b، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$3a-a=9-3$$

اجمع 3a مع -a.

$$2a=9-3$$

اجمع 9 مع -3.

$$2a=6$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$a=3$$

عوّض عن a بالقيمة 3 في a+b=3. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة b مباشرةً.

$$3+b=3$$

اطرح 3 من طرفي المعادلة.

$$b=0$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$a=3,b=0$$