حل {l}{3a+b=-3}{2a-b=-1}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 a + b = - 3 } \\ { 2 a - b = - 1 } \end{array} \right.$$

حل مسائل a، b

$$a=-\frac{4}{5}=-0.8$$

$$b=-\frac{3}{5}=-0.6$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3a+b=-3,2a-b=-1$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة a بعزل a على يسار علامة التساوي.

$$3a+b=-3$$

اطرح b من طرفي المعادلة.

$$3a=-b-3$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$a=\frac{1}{3}\left(-b-3\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في -b-3.

$$a=-\frac{1}{3}b-1$$

عوّض عن a بالقيمة -\frac{b}{3}-1 في المعادلة الأخرى، 2a-b=-1.

$$2\left(-\frac{1}{3}b-1\right)-b=-1$$

اضرب 2 في -\frac{b}{3}-1.

$$-\frac{2}{3}b-2-b=-1$$

اجمع -\frac{2b}{3} مع -b.

$$-\frac{5}{3}b-2=-1$$

أضف 2 إلى طرفي المعادلة.

$$-\frac{5}{3}b=1$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{5}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$b=-\frac{3}{5}$$

عوّض عن b بالقيمة -\frac{3}{5} في a=-\frac{1}{3}b-1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة a مباشرةً.

$$a=-\frac{1}{3}\left(-\frac{3}{5}\right)-1$$

اضرب -\frac{1}{3} في -\frac{3}{5} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$a=\frac{1}{5}-1$$

اجمع -1 مع \frac{1}{5}.

$$a=-\frac{4}{5}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$a=-\frac{4}{5},b=-\frac{3}{5}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3a+b=-3,2a-b=-1$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-2}&-\frac{1}{3\left(-1\right)-2}\\-\frac{2}{3\left(-1\right)-2}&\frac{3}{3\left(-1\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\left(-3\right)+\frac{1}{5}\left(-1\right)\\\frac{2}{5}\left(-3\right)-\frac{3}{5}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{5}\\-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة a وb.

$$a=-\frac{4}{5},b=-\frac{3}{5}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3a+b=-3,2a-b=-1$$

لجعل 3a و2a متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 3.

$$2\times 3a+2b=2\left(-3\right),3\times 2a+3\left(-1\right)b=3\left(-1\right)$$

تبسيط.

$$6a+2b=-6,6a-3b=-3$$

اطرح 6a-3b=-3 من 6a+2b=-6 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$6a-6a+2b+3b=-6+3$$

اجمع 6a مع -6a. حذف الحدين 6a و-6a، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$2b+3b=-6+3$$

اجمع 2b مع 3b.

$$5b=-6+3$$

اجمع -6 مع 3.

$$5b=-3$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$b=-\frac{3}{5}$$

عوّض عن b بالقيمة -\frac{3}{5} في 2a-b=-1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة a مباشرةً.

$$2a-\left(-\frac{3}{5}\right)=-1$$

اطرح \frac{3}{5} من طرفي المعادلة.

$$2a=-\frac{8}{5}$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$a=-\frac{4}{5}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$a=-\frac{4}{5},b=-\frac{3}{5}$$